Módulo ou valor absoluto - calculando o módulo

Considere a reta real:

Chamamos a distância de um ponto da reta à origem (distância do ponto até o zero) de módulo ou valor absoluto.

Assim, a distância do ponto 4 à origem é 4. Dizemos que o módulo de 4 é igual a 4. E representamos

|4| = 4

Da mesma forma, a distância do ponto -2 à origem é 2, ou seja, o módulo de -2 é 2, pois não há muito sentido em considerarmos distâncias negativas. Assim:

|-2| = 2

Outros exemplos:

|3| = 3

|-7| = 7

|0| = 0

|-1| = 1

Vamos generalizar:

Qual é o módulo de um número qualquer x?

|x| = ?

A resposta é: depende!

Pelos exemplos, podemos observar que, se x for um número positivo, seu módulo é igual a ele mesmo. Porém, se x for um número negativo, a distância não pode ser negativa, logo devemos mudar o sinal desse número, ou considerar o seu oposto (o mesmo número de sinal trocado).

Portanto, |x| = x, se x for um número positivo e |x| = -x, se x for um número negativo, pois devemos trocar o sinal do número negativo.
Ou:

Propriedades do Módulo

1) |a| = |-a|, para todo a real

Não é difícil constatar isso. Observe:

|2| = 2

|10| = 10

|-5| = 5

|-2| = 2

|-10| =10

|5| = 5

2) |x2|=|x|2 = x2, para todo x real

Verifiquemos isso para todas as possibilidades de valores de x: positivo, nulo ou negativo.

a) para x = 5

52 = 25

|5|2 = 52 = 25

|52|=|25|= 25

b) para x = 0

02 = 0

|0|2 = 02 = 0

|02|=|0|= 0

c) para x = -3

(-3) 2 = 9

|-3|2 = 32 = 9

|(-3) 2|=|9|= 9

Associada a essa propriedade está o fato de que

CUIDADO! É errado pensar que Isso só é verdadeiro para x ≥ 0.

Veja:

Para x = 7

Para x = -2

3) |a . b|=|a|.|b|, para quaisquer a e b reais

Veja:

a) a e b positivos

a = 3 e b = 5

|3 . 5|= |15|= 15

|3|.|5|= 3 . 5 = 15

b) a e b de sinais opostos

a = -2 e b = 4

|-2 . 4|= |-8|= 8

|-2|.|4|= 2 . 4 = 8

c) a e b negativos

a = -7 e b = -10

|-7 . (-10)|= |70|= 70