Mimi

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Apresenta¸˜o ca

Apresenta¸˜o ca
A id´ia de organizar e divulgar um Banco de Quest˜es com problemas propostos e o em provas de olimp´ ıadas surgiu em 2005, por solicita¸˜o de alunos e professores ca que participavam da OBMEP e sentiram falta desse tipo de material. A excelente acolhida que teve o Banco de Quest˜es-2006, por esses participantes, e tamb´m por o e estudantes de cursos delicenciatura em Matem´tica, nos motivou a continuar esse a trabalho. Boa parte dos problemas aqui apresentados foram extra´ ıdos de olimp´ ıadas de Matem´tica nacionais e internacionais. Nessa edi¸˜o, introduzimos alguns problea ca mas com solu¸˜o mais complexa, que n˜o constaram do Banco Quest˜es-2006. O ca a o mais importante ´ tentar resolvˆ-los, n˜o importando o tempo gasto para isso e a e e adificuldade encontrada. Igualmente importante, ´ entender a solu¸˜o que apresentae ca mos. N˜o conseguir resolvˆ-los n˜o deve ser motivo de desˆnimo. Entendemos que a e a a resolver, ou tentar resolver, problemas desafiadores, ´ uma das mais interessantes e e eficientes formas de aprender Matem´tica. a Os problemas est˜o separados em trˆs n´ a e ıveis, de acordo com a classifica¸˜o feita ca pela OBMEP, masmuitos deles podem (e devem) ser resolvidos por todos os alunos. Assim sendo, recomendamos que os alunos “passeiem” por todos os problemas e selecionem alguns, de outros n´ ıveis, para resolver. Desejamos que esse Banco de Quest˜es propricie a todos um bom trabalho e um o divertimento interessante. Dire¸˜o Acadˆmica da OBMEP ca e

OBMEP 2007

i

Lista 1

N´ 1 ıvel

N´ ıvel 1
Lista 11. M´ltiplos de 9 u (a) Qual ´ o menor m´ltiplo (positivo) de 9 que ´ escrito apenas com os e u e algarismos 0 e 1? (b) Qual ´ o menor m´ltiplo (positivo) de 9 que ´ escrito apenas com os e u e algarismos 1 e 2?

2. A florista - Uma florista colheu 49kg de flores do campo que podem ser vendidas imediatamente por R$1, 25 o quilo. A florista pode tamb´m vendˆe e las desidratadas por 2 reais a mais noquilo. O processo de desidrata¸˜o faz as ca flores perderem 5/7 de seu peso. Qual ´ o tipo de venda mais lucrativo para e a florista?

3. Divisores - Seja N o menor n´mero que tem 378 divisores e ´ da forma u e 2a × 3b × 5c × 7d . Quanto vale cada um desses expoentes?

4. O produto dos algarismos - Denotemos por P (n) o produto dos algarismos do n´mero n. Por exemplo: P (58) = 5 × 8 = 40 e P(319) = 3 × 1 × 9 = 27. u (a) Quais os n´meros naturais menores que 1000 cujo produto de seus algau rismos ´ 12, ou seja: os n´meros naturais n < 1 000 tais que P (n) = 12? e u (b) Quantos n´meros naturais menores que 199 satisfazem P (n) = 0? Ou u seja: tˆm o produto de seus algarismos igual a 0? e
OBMEP 2007

1

N´ 1 ıvel

Lista 1

(c) Quais n´meros naturais menores que 200 satisfazem adesigualdade 37 < u P (n) < 45? (d) Dentre os n´meros de 1 a 250, qual o n´mero cujo produto de seus algau u rismos ´ o maior? e

5. Suco de laranja - Davi vai a um armaz´m que vende uma garrafa de suco e de laranja por R$2, 80 e uma caixa com seis dessas garrafas por R$15, 00. Ele precisa comprar 22 garrafas para seu anivers´rio. Quanto ele gastar´ no a a m´ ınimo?

6. A casa da Rosa - A figuramostra a planta da casa da Rosa. O quarto e o quintal s˜o quadrados. Qual ´ a area da cozinha? a e ´

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