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Universidade Federal Fluminense

Resolução de Sistemas de Equações Lineares

AX = B

Universidade Federal Fluminense

Resolução de Sistemas de Equações Lineares

Estudaremos métodos numéricos (diretos e iterativos) para “resolver” sistemas, de n equações lineares com n incógnitas, compatíveis determinados, como por exemplo

 x1 + 4 x2 + 3 x3 = 1  2 x1 + 5 x2 + 4 x3 = 4  x − 3x −2 x = 5  1 2 3
3  1 4 A = 2 5 4    1 −3 −2   3 1 4 442 4 4 4 M atriz dos coeficientes

1  B = 4   5  1 3 424 M atriz dos term os independentes

Universidade Federal Fluminense

Resolução de Sistemas de Equações Lineares

Métodos Diretos

Triangulação de Gauss - Ponto de vista algébrico A triangulação de Gauss tem por objetivo transformar uma matriz quadrada numamatriz triangular superior aplicando-se uma seqüência das seguintes operações elementares sobre as linhas da matriz:

li ← li + α l j com α ∈
e

li ↔ l j

Universidade Federal Fluminense

Resolução de Sistemas de Equações Lineares Exemplo 1 : Vamos aplicar a triangulação de Gauss em uma matriz hipotética 4 X 4

1a coluna

a  a A = a 1  a 

(1) 11 (1) 21 (1) 31 (1) 41

a a aa

(1) 12 (1) 22 (1) 32 (1) 42

a a a a

(1) 13 (1) 23 (1) 33 (1) 43

a   a  a   a  
(1) 14 (1) 24 (1) 34 (1) 44

(1)  a21 l2 ← l2 −  (1)  a11

   l1    (1)  a31    l3 ← l3 −  (1)  l1  a A2  a11   (1)  a41   l4 ← l4 −  (1)  l1   a11   

PIVÔ

2a coluna

(1)  a11   0 A = 0 2   0 

(1) a12 0 (2) a32 (2) a42

(1) a13 (2) a23 (2) a33(2) a43

(1) a14  (2)  a24  (2) a34  (2)  a44  

l2 ↔ l3 } a A2'

PIVÔ

Universidade Federal Fluminense

Resolução de Sistemas de Equações Lineares
PIVÔ
(1)  a11   0 A = 0 2'   0  (1) a12 (2') a22 0 (2) a42 (1) a13 (2') a23 (2') a33 (2) a43 (1) a14  (2')  a24  (2') a34  (2)  a44  

(2)  a42    l4 ← l4 −  (2')  l2  a A3  a22   

PIVÔ
(1)  a11   0 A= 0 3   0  (1) a12 (2') a22 0 (1) a13 (2') a23 (2') a33 (3) a43 (1) a14  (2')  a24  (2') a34  (3)  a44  

3a

coluna

(3)  a43    l4 ← l4 −  (2')  l3  a A4  a33   

0

Universidade Federal Fluminense

Resolução de Sistemas de Equações Lineares

(1)  a11   0 A'= A =  0 4   0 

(1) a12 (2) a22 0 0

(1) a13 (2) a23 (3) a33 0

(1) a14  (2)  a24 (3) a34  (4)  a44  

Matriz triangular superior

Universidade Federal Fluminense

Resolução de Sistemas de Equações Lineares Algoritmo da triangulação de Gauss Considere uma matriz Para toda coluna

A = [aij ]n x n
faça:

j = 1,2,K, n − 1

1) escolha do pivô

a pj

: o pivô é o primeiro

aij

, com

j≤i≤n

,

diferente de zero. Caso este elemento não exista, vá paraoutra coluna. 2) se

p≠ j

fazer a seguinte mudança de linhas:
,

lp ↔ l j
faça

3) eliminações de Gauss: para toda linha

i = j + 1, j + 2,K, n

li ← li −

aij a jj

lj

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Resolução de Sistemas de Equações Lineares Exemplo 2 : Vamos aplicar a triangulação de Gauss em uma matriz 3 X 3

1o Coluna

1 A1 =  2  1 
1 A2 =  0  0 
1 A' = A3 =  0  0 

4 5 −3
4 −3 −7
4 −3 0

3  4   −2 
3  −2   −5  
3  −2   −1 / 3 

2 l2 ← l2 − l1 1 1 l3 ← l3 − l1 1

2o Coluna

3o Coluna

 −7  l3 ← l3 −   l2  −3 

Matriz triangular superior

Universidade Federal Fluminense

Resolução de Sistemas de Equações Lineares Algoritmo da triangulação de Gauss com estratégia de pivoteamento Considere umamatriz

A = [aij ]n x n
j≤i≤n

I) Algoritmo da triangulação de Gauss com estratégia de pivoteamento parcial: Para toda coluna

j = 1,2,K, n − 1

1) escolha do pivô

a pj

: o pivô é o primeiro

aij

, com

,

diferente de zero e com o maior valor absoluto. Caso este elemento não exista, vá para outra coluna. 2) se

p≠ j

fazer a seguinte mudança de linhas:

lp ↔ l j
faça...
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