Mec. solidos

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R.P.Leal e A.Neto 2007-8

Notação Indicial e Teoria da Elasticidade: revisões
R.P.Leal 2007/8

Problema 2
Problema 2 - Interpretar e simplificar as expressões a i = d ij u j a = d ij d ji a ik = d ij d jk
R.P.Leal e A.Neto 2007-8

a mp = d ik d mp w ik
a mp = (d im d kp + d ip d km ) w ik

p im = d ij d k  d nm d jk e n

1

Problema 2: resolução
a i = d ij u j Representa 3equações (1 índice livre i) com 3 parcelas no 2º membro (1 índice mudo j).

Simplificar a equação: 1. Fixar o(s) índice(s) livre(s); 2. Lembrar que um índice mudo varia simultaneamente em todos os objectos em que aparece. 3. Recordar a definição do símbolo de Kronecker
R.P.Leal e A.Neto 2007-8

ai =

d ij
=1 se j= i

u j = ui

Problema 2: resolução
a = d ij d ji Representa 1 equação (0índices livres) com 9 parcelas no 2º membro (2 índices mudos). Simplificar a equação: 1. Fixar o(s) índice(s) livre(s); 2. Lembrar que um índice mudo varia simultaneamente em todos os objectos em que aparece. 3. Recordar a definição do símbolo de Kronecker a =
R.P.Leal e A.Neto 2007-8

d ij
=1 se j= i

d ji = d ii = d11 + d 22 + d 33 = 3

Verificar: a = d ij d ji = d11 d11 + d12 d 21 + d13 d31 + d 21 d12 + d 22 d 22 +

+ d 23 d 32 + d 31 d13 + d 32 d 23 + d 33 d 33 = 3

2

Problema 2: resolução
a ik = d ij d jk Representa 9 equações (2 índices livres) com 3 parcelas no 2º membro (1 índice mudo j).

Simplificar a equação: 1. Fixar o(s) índice(s) livre(s); 2. Lembrar que um índice mudo varia simultaneamente em todos os objectos em que aparece. 3. Recordar a definição dosímbolo de Kronecker
R.P.Leal e A.Neto 2007-8

a ik =

d ij
=1 se j= i

d jk = d ik

é1 0 0ù ê ú (a ik ) = ê 0 1 0 ú ê ú êë 0 0 1 úû

Problema 2: resolução
a mp = d ik d mp w ik Representa 9 equações (2 índices livres) com 3 parcelas no 2º membro (1 índice mudo j).

Simplificar a equação: 1. Fixar o(s) índice(s) livre(s); 2. Lembrar que um índice mudo varia simultaneamente em todos osobjectos em que aparece. 3. Recordar a definição do símbolo de Kronecker
R.P.Leal e A.Neto 2007-8

a mp =

=1 se i= k

d ik

d mp w ik = d mp w kk

(a mp )

é w kk ê =ê 0 ê êë 0

0 w kk 0

0 ù ú 0 ú ú w kk úû

w kk = w 11 + w 22 + w 33

3

Problema 2: resolução
a mp = (d im d kp + d ip d km ) w ik = d im d kp w ik + d ip d km w ik

Representa 9 equações (2 índices livres)com 9 parcelas mais 9 parcelas no 2º membro. Simplificar a equação: 1. Fixar os índices livres; 2. Lembrar que um índice mudo varia simultaneamente em todos os objectos em que aparece. aparece 3. Recordar a definição do símbolo de Kronecker
R.P.Leal e A.Neto 2007-8

a mp =

d im =1 se i= m

d kp =1 se k = p

w ik +

d ip =1 se i= p

d km =1 se k = m

w ik = w mp + w pm

Problema2: resolução
p im = d ij d k d nm d jk e n Representa 9 equações (2 índices livres) com 81 parcelas (4 índices mudos) no 2º membro. Simplificar a equação: 1. Fixar os índices livres; 2. Lembrar que um índice mudo varia simultaneamente em j q p todos os objectos em que aparece. 3. Recordar a definição do símbolo de Kronecker
R.P.Leal e A.Neto 2007-8

p im =

d ij =1 se j=i

d k =1 se  =k

d nm =1 se n = m

d jk e n = d ik e km

4

Problema 3
Problema 3 - Interpretar e pôr em forma matricial a expressão da

elasticidade tridimensional em notação indicial l ti id d t idi i l t ã i di i l

e ij =

1 (u i, j + u j,i ) 2

R.P.Leal e A.Neto 2007-8

Problema 3: resolução
1 (u i, j + u j,i ) 2 Representa 9 equações (2 índices livres). A forma mais habitual de acolocar em forma matricial, em que se atende à simetria do tensor das matricial deformações, é a que se segue: e ij =
ì e11 ü é ¶ / ¶ x1 ï ï ï ê ïe ï ï ê 0 ï 22 ï ï ï ê ï ï e33 ï ï ê 0 ï ï í ý = êê ï2 e 23 ï 0 ï ï ê ï ê¶ / ¶ x ï 2 e13 ï ï ï ï 3 ê ï ï2 e ï ê¶ / ¶ x ï 12 ï ï 2 ï ï î þ ë
R.P.Leal e A.Neto 2007-8

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