matrizes

Cap¶³tulo 1
Matrizes e Determinantes
1.1 Generalidades
Iremos usar K para designar
IR conjunto dos n¶umeros reais
C conjunto dos n¶umeros complexos:
Deste modo, chamaremos n¶umeros ou escalares aos elementos de K.
Sejam m e n inteiros positivos.
(1.1 a) De¯ni»c~ao.
Chama-se matriz do tipo m £ n sobre K a todo o quadro que se obt¶em dispondo mn n¶umeros segundo m linhas e n colunas.
A =
2
6
4
a
11
a
12
¢ ¢ ¢ a
1n
a
21
a
22
¢ ¢ ¢ a
2n
. . .
.
.
.
am1 am2 ¢ ¢ ¢ a mn 3
7
5
1
(1.1 b) Nota»c~oes. Usamos igualmente como abreviatura
A = h a ij i i=1;:::;n ; j=1;:::;n ou h a ij i m£n ou ainda, simplesmente h a ij i caso se subentenda o tipo da matriz.
O n¶umero a ij diz-se o elemento, entrada ou componente da matriz A. Em a ij o i indica a linha onde se situa o elemento j indica a coluna onde se situa o elemento e, como tal, i diz-se o ¶³ndice de linha j diz-se o ¶³ndice de coluna do elemento a ij .
O elemento a ij diz-se ainda o elemento (i; j ) da matriz A.
Para A matriz do tipo m £ n de elementos sobre K
i. a matriz A diz-se quadrada sempre que m = n ; ii. rectangular m 6 = n; iii. matriz-linha ou vector-linha m = 1; iv. matriz-coluna ou vector-coluna n = 1;
2
Representamos por
Mm£n
(K) o conjunto de todas as matrizes do tipo m £ n sobre K. Com abuso de linguagem, usamos a nota»c~ao
K
m para representar Mm£1
(K), ou seja, para representar o conjunto das ma-trizes com m linhas e 1 coluna de elementos em K, as matrizes-coluna,
Mm£1
(K) =
8
>
<
>
:
2
6
4 a 1 a 2
.
am
3
7
5
: a i 2 K; i = 1; 2; ¢ ¢ ¢ ;m
9
>
=
>
;
»
=
»
= K m = f(a
1
; a
2
; ¢ ¢ ¢ ; am) : a i 2 K; i = 1; 2; ¢ ¢ ¢ ;mg :
(1.1 c) De¯ni»c~ao.
As matrizes
A = h a ij i
2 Mm£n
(K); B = h b k` i
2 Mp£q
(K)
dizem-se iguais sse
(
m = p n = q e a ij = b ij ; i = 1; :::;m; j = 1; :::; n:
(1.1 d) Nota»c~oes.
(I) Aos elementos da matriz (quadrada) A 2 Mn£n
(K) com igual