Matrizes e determinantes

Disponível somente no TrabalhosFeitos
  • Páginas : 48 (11971 palavras )
  • Download(s) : 0
  • Publicado : 13 de abril de 2013
Ler documento completo
Amostra do texto
Sum´ario
1 Matrizes 4
1.1 Defini¸c˜ao de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Tipos Especiais de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Opera¸c˜oes com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 Adi¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2 Multiplica¸c˜ao de uma Matriz por umEscalar . . . . . . . . . . 11
1.3.3 Multiplica¸c˜ao de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.4 Matriz Transposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Equa¸c˜oes Matriciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Sistemas Lineares 20
2.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Substitui¸c˜ao .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Elimina¸c˜ao de Vari´aveis (M´etodo de Gauss) . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Forma Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5 Forma Escalonada Reduzida por Linhas . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6 Posto e Nulidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.7Classifica¸c˜ao de Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.8 Sistema Homogˆeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3 Determinantes 41
3.1 Determinante de matrizes de ordem n ≤ 3 . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2 Desenvolvimento de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3 Propriedades dos Determinantes . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 45
4 Matriz dos Cofatores 49
4.1 Matriz Adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5 Matriz Inversa 52
5.1 Propriedades das Matrizes Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.2 Unicidade da Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.3 Determina¸c˜ao da Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5225.3.1 Defini¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.3.2 Matriz dos Cofatores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.3.3 Opera¸c˜oes Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.4 Regra de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6 Aplica¸c˜ao: Matriz Insumo-Produto 621 Matrizes
1.1 Defini¸c˜ao de MatrizesDefini¸cao˜ 1.1 Chama-se matriz de ordem m por n a um quadro (ou tabela) de
elementos dispostos em m linhas e n colunas, representada da seguinte maneira:
A =







a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1 am2 . . . amn







(1)
sendo aij elemento ou termo da matriz A, i = 1, . . . , m e j = 1, . . . , n, i denota
linhas e j denotacolunas.
Nota¸c˜ao: Letras mai´usculas para denotar matrizes e letras min´usculas para denotar os elementos da matriz.
A matriz A pode ser representada abreviadamente por A = [aij] , i = 1, . . . , m e
j = 1, . . . , n.
A matriz A ´e dita ser de dimens˜ao m × n, podendo ser escrita como Am×n.
Exemplo 1.1
A =
"
1 2
3 4 #
A ´e uma matriz de dimens˜ao 2 × 2, (A2×2).
Seus elementos s˜ao: a11 =1;a12 = 2;a21 = 3;a22 = 4.
Defini¸cao˜ 1.2 Duas matrizes Am×n = [aij] e Br×s = [bij], s˜ao iguais, A = B, se, e
somente se,
1. Tˆem o mesmo n´umero de linhas (m = r);
2. Tˆem o mesmo n´umero de colunas (n = s);
3. Todos os elementos correspondentes s˜ao iguais aij = bij, i = 1, . . . , m; j =
1, . . . , n.
41.2 Tipos Especiais de Matrizes
As matrizes descritas a seguir apresentamcaracter´ısticas pr´oprias e, na pr´atica,
aparecem frequentemente.
Defini¸cao˜ 1.3 Uma matriz na qual m 6= n ´e denominada matriz retangular.
Exemplo 1.2 A3×2 =




1 1
5 7
2 2




; B2×3 =
"
1 3 12
−5 0 2 #
Defini¸cao˜ 1.4 Uma matriz de ordem m por 1 ´e uma matriz-coluna ou vetorcoluna:







a1
a2
.
.
.
am







(2)
Defini¸cao˜ 1.5 Uma...
tracking img