Matrizes e determinantes

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Professor: Cassio Kiechaloski Mello Disciplina: Matemática Aluno:____________________________________________________ N°____ Turma:____________ Data:__________

MATRIZES E DETERMINANTES
MATRIZES:
Em quase todos os jornais e revistas é possível encontrar tabelas informativas. Na Matemática chamaremos estas tabelas de MATRIZES. Observe o exemplo: Médias de Público 1ª Divisão 2ª Divisão 3ªDivisão Inglaterra 34363 18221 7849 Alemanha 39109 17950 3964 Espanha 31126 8341 ** Itália 22697 5838 2869 Brasil 12401 7958 3274 Fonte: Superinteressante Setembro 2008 Esta matriz é de ordem 5x3, pois tem 5 linhas e 3 colunas. Cada elemento de uma matriz é indicado por aij, onde i é a linha e j a coluna onde se encontra este elemento. Genericamente, uma matriz será representada da seguinte forma:  a11a12 a13 ... a1n  a   21 a22 a23 ... a2 n   a31 a32 a33 ... a3n  = (aij )m×n   ... ... ... ...   ... am1 am 2 am3 ... amn    Exemplo: Criar a matriz A = (aij)3x2, tal que aij = i² - j.

TIPOS ESPECIAIS DE MATRIZES: Matriz Linha: Quando m = 1 Ex. A = [3 5 -2] Matriz coluna: Quando n = 1 3 Ex. A =  5    − 2  

Matriz Quadrada: Quando m = n 3 1 7  Ex. A =  2 0 − 3  10 4 5   

Matriz Diagonal: Quando aij = 0 se i≠j. Somente em matriz quadrada  3 0 0 A = 0 8 0    0 0 5   

Matriz Identidade: É uma matriz diagonal onde aij = 1 se i=j 1 0 0 Ex. A = 0 1 0   0 0 1   

Matriz Transposta: Matriz obtida ao se inverter linhas e colunas de uma matriz 1 2 3  1 4 7   4 5 6 M T =  2 5 8  Ex: M =     7 8 9  3 6 9     IGUALDADE ENTRE MATRIZES: Duas Matrizes são iguais se todos os seus elementos correspondentes forem iguais a 3   2 b  Ex.  =  , então a = 2, b = 3, c = 5 e d = 7 5 d   c 7

OPERAÇÕES COM MATRIZES Adição: A + B = (aij + bij)mxn Subtração: A – B = (aij – bij)mxn 1 Dados A =  3 1 A− B +C =  3 0 2 3  − 1 2  B = 5 − 2 C =  5 1  2     0  2 3  − 1 2 1 − 2 + (−1) 0− 3 + 2  − 2 − 1 − + = = 2 5 − 2  5 1   3 − 5 + 5 2 − (−2) + 1  3 5         

Multiplicação por Escalar: Se multiplicarmos uma matriz por um número real qualquer, todos os elementos dessa matriz também serão multiplicados por este número: 2 3  6 9 Ex. 3 ×  =  5 1 15 3

Multiplicação de Matrizes: Dados A = (aij)mxn e B = (bij)nxp AxB = C cik = ai1*b1k + ai2*b2k +... + ain*bnk IMPORTANTE: Só podemos multiplicar A por B se o número de colunas de A for o mesmo que o número de linhas de B. 2 3 5  7 0 1  Ex. A =   1 0 − 2  B =  2 3 − 4  Calcule AxB e BxA        MATRIZ INVERSA: Seja A uma matriz quadrada de ordem n. B é a inversa de A se AxB = BxA = In. Neste caso chamaremos B de A-1. Uma matriz só é inversível se seu determinante for diferentede 0.  1 0 -1 Ex. A =   2 5  Achar a A   

EXERCÍCIOS: 1) Construa as seguintes Matrizes: a) A = (aij)2x5, em que aij = 3i – 3j b) B = (bij)1x3, em que bij = i2 + i3 c) C = (cij)3x3, em que cij = i + j

3 2 T -1 2) Dada a Matriz A =   8 5  , ache A e A   

 2 3a   c − 1 − 6   3) Determine a, b, c e d que verifiquem:   b d + 1 =  5   0     

4) Efetue: 6  3 5  2     a)  7 3  +  − 3 8  8 6  7 − 2    

 3 − 7 0   − 10 0 3  b)  15 1 − 6  +  − 5 1 − 7        

5) Dadas as matrizes 0 4    2 3 7 A=  5 6 0  B =  1 − 1    3 2    Obtenha as matrizes: 1 a) A b) 2B c) 3A + 2BT 3

d) A*B

6) Efetue as Multiplicações: 0   a)  1  × (0 3 5) 0  

0 5  3 8 3  1     b)  5 6 0  ×  7 −2 4   − 2 1 4  − 3 1 0    

7) Determine a matriz inversa das seguintes matrizes

 4 − 1 a)  −3 2    

5 0 b)  1 2   

 8 9 c)   7 8   

1 0 d)  0 1   

1 1 8) (UFRGS) Se A =   − 1 − 1 , então A² é a matriz    1 1  0 0 a)   − 1 − 1 b)  0 0          1 1 c)   1 1   
2   − 1 − 1  2 d)   1 1  e)  − 2...
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