matemática discreta

Matem´tica Discreta a Cˆndida Nunes da Silva a UFSCar - Campus Sorocaba

Cˆndida Nunes da Silva a Matem´tica Discreta a ´
Algebra

Cˆndida Nunes da Silva a Matem´tica Discreta a Grupos

Uma estrutura G , ´ um grupo se G = ∅ e ´ uma e e opera¸˜o bin´ria definida como ca a
: G × G −→G e tal que as seguinte propriedades s˜o satisfeitas: a associativa para quaisquer a, b, c ∈ G temos a (b c) = (a b) c; identidade existe e ∈ G tal que a e = e a = a para todo a ∈ G; inverso para todo a ∈ G existe x ∈ G tal que a x = x a = e.

Cˆndida Nunes da Silva a Matem´tica Discreta a Grupos
Ent˜o todo grupo possui um elemento chamado de a identidade ou elemento neutro que ´ usualmente denotado e por e.
Este ´ um elemento de G que sempre que opera¸˜o bin´ria ´ e ca a e aplicada a ele juntamente com outro elemento a, resulta no pr´prio a. o Al´m disso, em um grupo, cada elemento a possui um e elemento chamado de inverso de a.
O inverso de a ´ o elemento x ∈ G tal que a x = x a = e, e onde e ´ o elemento de identidade. e Tipicamente detonamos o elemento inverso x por a−1 para explicitar o fato deste ser o inverso de a. Mas veja que a−1 ´ e uma nota¸˜o, este elemento possui um s´ ca ımbolo associado a e ele que n˜o ´ a−1 , ´ x. a e
Cˆndida Nunes da Silva a Matem´tica Discreta a Grupos

O s´ ımbolo da opera¸˜o bin´ria de um grupo n˜o precisa ser ca a a “ ”. De fato, o s´ ımbolo em si n˜o importa. Ent˜o podemos a a usar outros s´ ımbolos para a opera¸˜o, como +, , ⊕, etc. ca Freq¨entemente escrevemos “G ´ um grupo”, quando a u e opera¸˜o bin´ria utilizada est´ impl´ ca a a ıcita.

O mais correto seria afirmar “ G , ” ´ um grupo, sempre e explicitando a opera¸˜o considerada. No entanto, usaremos as ca duas nota¸˜es, conforme a conveniˆncia. co e
E quando n˜o houver ambig¨idade quanto ` opera¸˜o a u a ca utilizada, escrevemos ab no lugar de a b.

Cˆndida Nunes da