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Escola Básica e Secundária Dr. Ângelo Augusto da Silva

Exercícios de 11.º ano nos Exames Nacionais e nos Testes Intermédios TRIGONOMETRIA
1.a) Seja [ABC] um triângulo isósceles em que BA = BC . Seja α a amplitude do ângulo ABC. Mostre que a área do triângulo [ABC] é dada por
BC 2
2

× sen α

(α ∈ ]0,π[) b) Considere agora um polígono regular de n lados, inscrito numa circunferência deraio 1. Utilize o resultado anterior para mostrar que a área do polígono é dada por An= × sen
n 2

a) Determine a altitude do satélite (distância à superfície da Terra) quando este se encontra no apogeu. Apresente o resultado em km, arredondado às unidades. b) Num certo instante, o satélite está na posição indicada na figura. A distância do satélite ao centro da terra é, então, de 8200 km.Determine o valor de x, em graus, arredondado às unidades.
(Exame 2ªchamada 2000)

b g.
2π n

c) Interpreta geometricamente o que acontece a An quando n aumenta indefinidamente.
(Prova Modelo 2000-adaptação)

2. No presente ano civil [2000], em Lisboa, o tempo que decorre entre o nascer e o pôr do Sol, no dia de ordem n do ano, é dado em horas, aproximadamente, por f(n)=12,2+2,64 sen
π (n −81)
183

, n∈{1,2,3,...,366} (o argumento

da função seno está expresso em radianos). a) No dia 24 de Março, Dia Nacional do Estudante, o Sol nasceu às 6 e meia da manhã. Em que instante ocorreu o pôr do Sol? Apresente o resultado em horas e minutos (minutos arredondado às unidades). Notas: recorde que, no presente ano, o mês de Fevereiro teve 29 dias; sempre que, nos cálculos, proceder aarredondamentos, conserve, no mínimo, 3 casas decimais. b) Em alguns dias do ano, o tempo que decorre entre o nascer e o pôr do Sol é superior a 14,7 horas. Recorrendo à sua calculadora, determine em quantos dias do ano é que isso acontece. Indique como procedeu.
(Exame 1ªchamada 2000)

4. Considere a função f, de domínio R, definida por f(x)=2xcos x. Na figura abaixo estão representadas: parte dográfico da função f; parte de uma recta r, cuja inclinação é 450, que contém o ponto A(-3,0) e que intersecta o gráfico da função f no ponto B. Recorrendo à sua calculadora, determine a área do triângulo [AOB], onde O designa a origem do referencial. Apresente o resultado arredondado às unidades.
(Exame 1ªchamada 2000)

3. Um satélite S tem uma órbita elíptica em torno da Terra, tal como serepresenta na figura. Tenha em atenção que os elementos nela desenhados não estão na mesma escala. Na elipse, estão assinalados 2 pontos: o apogeu, que é o ponto da órbita mais afastado do centro da Terra; o perigeu, que é o ponto da órbita mais próximo do centro da Terra. O ângulo x, assinalado na figura, tem o seu vértice no centro da Terra; o seu lado origem passa no perigeu, o seu ladoextremidade passa no satélite e a sua amplitude está compreendida entre 0 e 360 graus. A distância d, em km, do satélite ao centro da Terra, é dada por 7820 d= 1+ 0,07 cos x . Considere que a Terra é uma esfera de raio 6378 km.

5. Na figura está representada uma pirâmide quadrangular regular. Sabe-se que: a base da pirâmide tem centro F e lado 2; G é o ponto médio da aresta [BC]; x designa a amplitude doângulo FGE. a) Mostre que a área total da pirâmide é dada, em função de x, por A(x)=

4 cos x + 4 (x∈ ]0,π/2[) cos x

b) Use a calculadora gráfica para resolver o seguinte problema: o que acontece a A(x) quando x aproxima-se de π ? Interprete geometricamente o valor obtido. 2
(Exame 1ªchamada 2001-adaptação)

6. Na figura estão representados, em referencial o.n. xOy: um quarto de círculo,de centro na origem e raio1; uma semi-recta paralela ao eixo Oy, com origem no ponto (1,0); um ponto A pertencente a esta semi-recta; um ângulo de amplitude α, cujo lado origem é o semieixo positivo Ox e cujo lado extremidade é a semirecta AO.

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__________________________________________ Pág. 1 Trigonometria de 11.º ano nos Exames...
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