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ApostilA MAtEMáticA

NÚMEROs COMPLEXOs
I) Introdução
Sabemos que no conjunto dos número reais !R não é possível a radiciação com índice par de número negativo. Assim sendo, são impossíveis , no conjunto dos reais, operações tais como: Ex:

Notamos que os valores 1 , i , -1 e –i repetem-se de 4 em 4 potências. A maneira rápida de descobrir qual desses quatro valores é o resultado, quando nfor maior que 3, consiste em dividir n por 4 e considerar o resto da divisão como sendo o novo expoente de i . Exemplos: a)

i 256 =

b)

i 4037 =

c)

i 245872021 =

TEsTEs DE AULA 74)(PUCRS) As raízes da equação x 2 + 2 x + 2 = 0
são : a) b) c) d) e)

Para sanar tal problema, houve a necessidade de ampliação do conjunto numérico até então conhecido, criando-se assim o conjunto dosnúmeros complexos (C) o qual contém todos os números conhecidos: N , Z ,Q,IeR

2 ± 2i − 1 ± 2i 2±i −1 ± i − 2 ± 2i

75) A expressão II) Unidade Imaginária
Denomina-se de unidade imaginária,e a representamos pela letra i, à raiz quadrada de -1 a) -1 b) ii c) 1 d) -1 +i e) 1-i

é igual a:

i = −1
Exemplos: a) Qual é o valor de
− 100 2

? ?

b) Quais são as raízes da equação

iguala: a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2

76) (PUCRS) A potência [(1 + i )2 + (1 − i) 2 ]

205

é

III) Potências naturais de i

77) (UFRGS) A forma a + bi
a) 1/2 + 3/2 i b) –1/2 + 3/2 i c) –1/2 + 2/3 i d) –1/2 – 2/3 I e) 1/2 – 3/2 i

de z = (1 + 2i) / (1 − i) é:

78)(UFRGS) Sendo i a unidade imaginária, a soma
dos termos da seqüência i0 , i1, i2, i3 , i4 , i5 ,  , i2007 é:

1

a) b) c)d) e)

–1. 0. 1. –i. i.

b). A representação gráfica chamamos de afixo ou imagem do número complexo. No plano de Argand-Gauss a seguir, represente graficamente os seguintes números complexos:

Z 1 = 2 + 3i Z 2 = 4 + i Z 3 = −2 + i

79)(UFRGS)O valor da expressão
a) b) c)

i

256

+ 7i − i 2i

4

Z 4 = −3 − 2i Z 5 = 4 − 2i Z 6 = 2i Z 7 = −3

d) e)

IV) Forma Algébrica de umnúmero complexo
Todo número complexo é representado na forma

Z = a + bi

VI) Número Complexo, Conjugado, Oposto e simétrico
Considerando um número complexo representado na forma Z = a+bi, teremos que : Número Complexo Z = a + bi Z = 2 + 3i Z = -4 +3i Z = -5 – 6i Conjugado Oposto _ Z=a–b -Z = -a – bi Simétrico SZ = -a – bi

onde:

• a e b são coeficientes reais • a é a parte real • bi é aparte imaginária • b é o coeficiente da parte imaginária • i é a unidade imaginária • a + bi é o número complexo escrito na forma algébrica ou binomial Exemplos: Z = a + bi a= b= Tipo Z = 3 + 4i Z = -40i Z=7

Z = -4 + 2i Z = 10

Não real

Imaginário Puro

Número Real

V) Representação Gráfica de um Número Complexo no Plano de Argand-Gauss
Representa-se o número complexo a + bi da mesmaforma utilizada para um par ordenado, ou seja, por (a ;

VII) Operações entre números complexos
Considerando os números complexos

Z 1 = 2 + 3i

Z 2 = 4 + i Z 3 = −2 + i
seguir:

, calcule as operações a

2

ApostilA MAtEMáticA

1º ) ADIÇÃO

Z1 + Z 2 = Z 2 + Z 3 =
2º ) SUBTRAÇÃO

83)(FURG) O complexo conjugado de 1 é: i
a) –i. b) –1. c) −
1 . i

Z1 − Z 2 = Z 3 − Z1 =
3º) MULTIPLICAÇÃO

d) 1. e) i.

4º ) DIVISÃO

84)(UFRGS) A figura representa o plano complexo e
um quadrado centrado na origem com vértices a, b, c, d. O conjugado do complexo a é :

Z2 −1 = (Z 2 ) Z3

TEsTEs DE AULA 80)(UFRGS) O produto 2+bi pelo seu conjugado é 13,
com b ∈ R . Os possíveis valores de b são: a) 0 b) -2 ou +2 c) -3 ou +3 d) e) -13 ou +13

a) d b) c c) b d) b-ci e) c-di85)(UFRGS)Se Z é um número complexo e
lução da equação Z ⋅ Z = 1 é: a) um ponto b) um segmento de reta c) uma reta d) um arco de circunferência e) uma circunferência

Z é seu conjugado , a representação geométrica do conjunto so-

81)(PUCRS) O inverso de (2+i) é:
a)

2+i 4 2−i 4

b)

2+i 5 2−i 5

c) 2

-i

d)

e)

VIII) Módulo ou Valor Absoluto de um Número Complexo...
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