Matematica discreta

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Triˆngulo de Pascal a

´ MODULO 1 - AULA 12

Triˆngulo de Pascal a
Objetivos Descrever o triˆngulo de Pascal. a Estudar algumas de suas propriedades. Apresentar a seq¨ˆncia de Fibonacci e mostrar sua rela¸˜o com o triˆngulo ue ca a de Pascal. O triˆngulo de Pascal ´ uma seq¨ˆncia de n´ meros binomiais, isto ´, a e ue u e inteiros da forma C(n, r), dispostos em uma tabela em forma detriˆngulo, a como na figura abaixo.
1 1 1 1 1 1 5 4 10 3 6 10 2 3 4 5 1 1 1 1 1
O Matem´tico francˆs Blaise a e Pascal (1623–1662) foi uma crian¸a prod´ c ıgio que descobriu sozinha, sem aux´ de livros, muitas das ılio id´ias fundamentais da e Geometria Euclideana. Pascal foi um dos pioneiros no estudo da probabilidade, e tamb´m tem o cr´dito de e e ter inventado e constru´ a ıdo primeira calculadoradigital: a uma m´quina de somar mecˆnica parecida com as a m´quinas da d´cada de 40 a e deste s´culo. e

O nome “triˆngulo de Pascal” vem do fato de Pascal ter escrito, em a 1653, um tratado estudando, entre outras coisas, este triˆngulo. Contudo, o a a e e triˆngulo de Pascal ´ conhecido desde muitos s´culos antes de Pascal, tendo sido estudado na China e na ´ India desde 1100. Vamos come¸arescrevendo os n´meros binomiais em forma de tabela. c u A “linha n” desta tabela ser´ formada pelos inteiros C(n, r), onde r varia de 0 a at´ n. Come¸amos a tabela com a linha 0, formada apenas pelo C(0, 0) = 1. e c Por exemplo, a linha 4 ´ formada pelos inteiros C(4, r), com 0 ≤ r ≤ 4, e isto ´, formada pelos cinco inteiros e C(4, 0) C(4, 1) C(4, 2) C(4, 3) C(4, 4) 1 4 6 4 1

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Note que, como come¸amos na linha 0, a linha 4 ´ na verdade a quinta c e linha da tabela. Usado a regra de forma¸˜o explicada acima, constru´ ca ımos a tabela:

n r 0 1 2 3 4 5 6 . . .

0 1 1 1 1 1 1 1

1

2

3

4

5 6 ···

1 2 1 3 3 1 4 6 4 1 5 10 10 5 1 6 15 20 15 6 1

Escrevemos a tabela acima at´ a linha 6. No entanto, a tabelacontinua e indefinidamente. Observando a tabela, podemos perceber v´rias propriedades que podem a ser facilmente provadas usando-se a defini¸˜o do triˆngulo da Pascal dada ca a acima. Vamos a estas propriedades: Propriedade 1
A ilustra¸˜o acima aparece ca em um texto de 1303, escrito por um matem´tico chinˆs. a e O texto chama-se Szu-Yuen Yu-chien (o espelho precioso dos 4 elementos).

Propriedade 1.Toda linha come¸a e termina com o inteiro 1. c Demonstracao: o primeiro n´ mero da linha n ´ ¸˜ u e n! n! = =1, C(n, 0) = 0!(n − 0)! 1.n! enquanto que o ultimo n´ mero da linha n ´ ´ u e n! n! C(n, n) = = =1. n!(n − n)! n!0! Propriedade 2 Propriedade 2. Com exce¸˜o do primeiro e ultimo n´ meros da linha ca ´ u (que, como vimos, s˜o iguais a 1), cada n´mero ´ igual a soma do a u e ` n´ mero que est´diretamente acima dele, com o n´ mero que est´ u a u a acima e a esquerda. `

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Desta forma, come¸ando com a primeira linha, obtemos o triˆngulo at´ c a e a linha que quisermos, obtendo uma linha a partir da linha anterior, sem realmente ter que calcular os n´ meros binomiais C(n, r). u Como exemplo, vejamos como a linha 5 ´ obtidada linha 4: e

1 1

+

4 5

+

6 10

+

4 10

+

1 5 1

Obtemos um n´ mero somando-se dois n´ meros, os que est˜o acima e u u a acima a esquerda dele. ` Verifique esta propriedade, at´ a linha 6, no triˆngulo da figura anterior. e a Exemplo 70 Usando a propriedade 2, construir o triˆngulo de Pascal at´ a linha 4: a e Come¸amos com as duas primeiras linhas, que s˜o: c a n 0 1 1 11 Para a linha 2, usamos a propriedade: n 0 1 1 1 1 2 1 2 1 Acrescentamos a terceira linha: n 0 1 2 3

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1

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E agora a quarta linha: n 0 1 2 3 4

1 1 1 1 1

1 2 1 3 3 1 4 6 4 1

Demostra¸˜o da propriedade 2 ca Agora devemos provar a propriedade 2. Para isto, vamos express´-la a em termos de n´ meros...
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