Matematica discreta

Triˆngulo de Pascal a

´ MODULO 1 - AULA 12

Triˆngulo de Pascal a
Objetivos Descrever o triˆngulo de Pascal. a Estudar algumas de suas propriedades. Apresentar a seq¨ˆncia de Fibonacci e mostrar sua rela¸˜o com o triˆngulo ue ca a de Pascal. O triˆngulo de Pascal ´ uma seq¨ˆncia de n´ meros binomiais, isto ´, a e ue u e inteiros da forma C(n, r), dispostos em uma tabela em forma de triˆngulo, a como na figura abaixo.
1 1 1 1 1 1 5 4 10 3 6 10 2 3 4 5 1 1 1 1 1
O Matem´tico francˆs Blaise a e Pascal (1623–1662) foi uma crian¸a prod´ c ıgio que descobriu sozinha, sem aux´ de livros, muitas das ılio id´ias fundamentais da e Geometria Euclideana. Pascal foi um dos pioneiros no estudo da probabilidade, e tamb´m tem o cr´dito de e e ter inventado e constru´ a ıdo primeira calculadora digital: a uma m´quina de somar mecˆnica parecida com as a m´quinas da d´cada de 40 a e deste s´culo. e

O nome “triˆngulo de Pascal” vem do fato de Pascal ter escrito, em a 1653, um tratado estudando, entre outras coisas, este triˆngulo. Contudo, o a a e e triˆngulo de Pascal ´ conhecido desde muitos s´culos antes de Pascal, tendo sido estudado na China e na ´ India desde 1100. Vamos come¸ar escrevendo os n´meros binomiais em forma de tabela. c u A “linha n” desta tabela ser´ formada pelos inteiros C(n, r), onde r varia de 0 a at´ n. Come¸amos a tabela com a linha 0, formada apenas pelo C(0, 0) = 1. e c Por exemplo, a linha 4 ´ formada pelos inteiros C(4, r), com 0 ≤ r ≤ 4, e isto ´, formada pelos cinco inteiros e C(4, 0) C(4, 1) C(4, 2) C(4, 3) C(4, 4) 1 4 6 4 1

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CEDERJ

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Triˆngulo de Pascal a

Note que, como come¸amos na linha 0, a linha 4 ´ na verdade a quinta c e linha da tabela. Usado a regra de forma¸˜o explicada acima, constru´ ca ımos a tabela:

n r 0 1 2 3 4 5 6 . . .

0 1 1 1 1 1 1 1

1

2

3

4

5 6 ···

1 2 1 3 3 1 4 6 4 1 5 10 10 5 1 6 15 20 15 6 1

Escrevemos a tabela acima at´ a linha 6. No entanto, a tabela