Matcomp-matrizes

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MATRIZES E DETERMINANTES

MATRIZES

1. Definição: Uma matriz é um arranjo retangular de números variáveis, cada um tendo um lugar ordenado dentro da matriz. Os números ou variáveis chamados elementos da matriz.

As matrizes podem ser representadas das seguintes formas:

Através de parênteses ( ).
Através de colchetes [ ] .
Através de barras duplas || ||.

Os números em cadafila horizontal são chamados linhas; os números em cada fila vertical são chamados colunas.
O número de linhas (m) e o número de colunas (n) define as dimensões da matriz (m x n) que se lê “m por n”.
Representaremos uma matriz de “m” linhas e “n”colunas por:

fórmula , i = linha e j = coluna.

Dessa forma, a matriz é uma tabela retangular de números:

fórmula

Os elementos de umamatriz são representados por letras minúsculas, acompanhada por índices, i e j , que indicam a linha e a coluna, respectivamente, onde se encontra o elemento da matriz:

a i j coluna


linha

Exemplo: -1 2
3 4
0 3 3 x 2

a matriz é do tipo 3x2, pois tem 3 linhas e 2 colunas.

Exemplo: A matriz -1 0 3 vamos associar a matriz
2 1 4

A = a11 a12 a13
a21a22 a23

então : a11 = -1, a12 = 0 , a13 = 3, a21 = 2 , a22 = 1 e a23 = 4

Exemplos : escreva a matriz A = (aij ) 3x2 tal que aij = 2i – j.

Solução: a matriz 3 x 2 é do tipo

a11 a12
a21 a22
a31 a32

para obtermos o valor de cada elemento da matriz, basta substituir os valores de i e j na lei de formação aij = 2 i – j.
Desta forma, teremos :

a11 = 2 . 1 – 1= 1 a21 = 2 . 2 – 1= 3 a31 = 2 . 3 – 1 = 5
a12 = 2 . 1 – 2 = 0 a22 = 2 . 2 – 2 = 2 a32 = 2 . 3 – 2 = 4

portanto, 1 0
A= 3 2
5 4

Ordem de uma matriz:

Ordem de uma matriz refere-se ao seu número de linhas e colunas. É apresentada na notação m×n, onde m é o número de linhas e n o de colunas. Lê-se "m por n".
Assim, a matriz A acima é de ordem 3x2.
Por exemplo:uma matrizde ordem 3 tem três linha e três colunas
0 1 23 4 56 7 8Para que uma matriz seja classificada dessa forma, ele deve possuir a mesma quantidade de linhas e de colunas, ou seja, ela deve ser uma matriz quadrada.

Tipos de Matrizes

Principais Tipos de Matrizes
Uma matriz recebe certo tipo de nome dependendo da quantidade de elementos em suas linhas e colunas ou apenas porcaracterísticas específicas:

2.1.Matriz Quadrada: é aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas (m = n).

Ex. A= (fórmula) de ordem 2 onde fórmula = i + j.
Ex.:

a) 2 4
-1 3 2x2 matriz quadrada de ordem 2

b) 1 3 0
2 1 5
4 3 2 3x3 matriz quadra de ordem 3

2.2.Matriz Nula: é aquela em que fórmula=0 para todo i e j.

a) 0 0

0 0 2x2
Ex.A=fórmula onde fórmula = 0 i e j.

2.3.Matriz Coluna: é aquela que possui uma única coluna(n = 1).

Ex. Vetor coluna.
Ex.:

A = 3 é a matriz coluna ( 2 x 1 )
-2

2.4.Matriz Linha: é aquela que possui uma única linha(m = 1).

Ex. Vetor linha.
Ex.: A = ( 3 -1 2 ) é a matriz linha ( 1 x 3 )

2.5.Matriz Diagonal: é uma matriz quadrada onde fórmula = 0 para i  j, isto é, os elementosque não estão na diagonal principal são nulos.

Diagonal principal

Diagonal secundária

Diagonal principal: formada pelos elementos ( a11, a22, a23 ) com i = j
Diagonal secundária: formada pelos elementos ( a13,a22,a31).

2.6.Matriz Identidade: é uma matriz quadrada onde fórmula = 1 para i = j e fórmula = 0 para i  j.

É uma matriz diagonal onde fórmula

1 0 0
In = 0 1 00 0 1

2.7.Matriz Triangular Superior: é uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da
diagonal principal são nulos, isto é, m = n e fórmula = 0 para i > j.

2.8.Matriz Triangular Inferior: é aquela em que m = n e fórmula = 0 para i < j.

2.9.Matriz Transposta: chamamos de matriz transposta de uma matriz A, a matriz que é obtida a partir de A, trocando-se ordenadamente...
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