Lugar das Raizes

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETRÔNICA

LUGAR DAS RAÍZES
A função de transferência do circuito abaixo em malha fechada é:
F(s) = C(s)
R(s)
R(s)

+

=

G(s)
1+ G(s).H(s)
C(s)

G(s)
H(s)

A expressão total é dita função de transferência em malha fechada. G(s).H(s) é chamado função de transferência em malha aberta.
O objetivo é determinar PÓLOS da função de transferência em malha fechada, pois eles caracterizam a resposta do sistema. Então a equação a ser resolvida é:
1 + G(s).H(s) = 0
A qual é chamada equação característica.
REGRA 1 – EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA
Para construir o lugar das raízes, obtenha a equação característica e rearrange na forma: 1

+

K (s - z1).(s - z2)......(s - zm)
(s - p1).(s - p2)......(s - pn)

= 0

Então localize os pólos e zeros do laço aberto no plano S.
Exemplo: Considere o sistema:
G(s) =

K
s.(s+1)

H(s) =

(s+2)
(s+3).(s+4)

Então:
1

CEFET-PR

+

K. (s+2)
s.(s+1) (s+3).(s+4)

APOSTILA LUGAR DAS RAÍZES

= 0

Prof. Brero

1

Desenhando os pólos e zeros de malha aberta: jω -4

-3

-2

-1

x

x

o

x

σ

x

REGRA 2 – PONTOS DE INÍCIO E TÉRMINO DO LUGAR DAS RAÍZES
Encontre os pontos de início e término do lugar das raízes. Como nos sistemas reais o número de pólos de malha aberta é maior ou igual ao número de zeros (n ≥ m), o lugar das raízes inicia para K = 0 nos pólos de malha aberta e termina em um zero de malha aberta ou no infinito.
Existem n ramos, m dos quais irão terminar em um zero, e (n - m) ramos irão terminar no infinito seguindo assíntotas.
EXEMPLO: No exemplo anterior, o número de pólos de malha aberta é n=4, e o número de zeros de malha aberta é m=1. Então um ramo terminará em um zero e três terminarão no infinito.
REGRA 3 – LUGAR DAS RAÍZES NO EIXO REAL
Determinar o lugar das raízes no eixo real. Um ponto no eixo real faz parte do lugar das raízes se o número