Logica

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JOÃO NUNES de SOUZA

LÓGICA para CIÊNCIA da COMPUTAÇÃO

Uma introdução concisa
2 de junho de 2009

1 A linguagem da Lógica Proposicional

Errata
Caso você encontre algum erro nesse capítulo ou tenha algum comentário a fazer, envie-o para nunes@ufu.br. Muito obrigado.

Sugestões e soluções de exercícios selecionados
1. a) Não é fórmula b) É fórmula c) É fórmula d) Não é fórmula e) Éfórmula 2. a) Sim, por exemplo, as fórmulas P , true, etc c) Não 3. a) comprimento igual a 11. 4. a) ¬¬P ↔ (¬(¬¬(P ∨ Q) → R) ∧ P ). 5. c) ((¬P ) ∨ (Q ↔ Q)). 6. a) A fórmula do item a) do exercício 4 é escrita como: ↔ ¬¬ ∧ ¬ → ¬¬ ∨ P QRP. b) ↔→ ¬P ∨ QR ↔ ∧P Q ∨ ¬¬R¬P . 7. a) Não. b) Não. 8. 9. Par.

ELSEVIER 10. a) comp[H] é um número ímpar.

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b) comp[H] éo dobro do número de conectivos de H, mais um.

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2 A semântica da Lógica Proposicional

Errata
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Sugestões e soluções de exercícios selecionados
1. No contexto deste livro, qual a diferença entre os símbolos? a) true é um símbolo sintático, que pertence ao alfabetoda Lógica Proposicional e T é um símbolo semântico. c) → é um conectivo, que pertence ao alfabeto da Lógica Proposicional e ⇒ é um símbolo da metalinguagem. Observe, portanto, que ⇒ não pertence à linguagem da Lógica Proposicional. 2. 3. 4. a) Não temos a possibilidade: I[P ] = T e I[Q] = F . b) I[Q] = T c) I[H] = T d) Nada podemos concluir a respeito de I[Q]? e) I[H] = F 5. a) I[(¬P ∨ Q) ↔ (P →Q)] = T e nada podemos concluir a respeito de J[Q] e J[R]. 6. a) I[(P ∨ R) → (Q ∨ R)] = T b) I[(P ∧ R) → (Q ∧ R)] = T c) Nada se pode concluir a respeito de I[(¬P ∨ Q) → (P ∨ Q)] 7.

ELSEVIER 8. a) I[H] = F b) I[H] = T 9.

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10. a) Considere as associações: P = eu sou feliz, Q = você é feliz. Neste caso, a representação é dada por (P → ¬Q) ∧ (¬Q → ¬P ) b)Considere as associações: P = José virá à festa, Q = Maria gostará da festa. Nesse caso, a representação é dada por (P ∧ ¬Q) ∨ (¬P ∧ Q). 11. A rigor, qualquer uma das sentenças pode ser representada na Lógica Proposicional. Basta representar toda a sentença por um símbolo proposicional. Entretanto, essa representação trivial esta longe de ser a mais adequada, pois ela não é fiel aos detalhes internosda sentença. E para representar essas estruturas internas da sentença, são necessários outros formalismos, outros tipos de Lógicas, diferentes da Lógica Proposicional. a) O quantificador "para todo", é considerado na Lógica de Predicados. b) "Possivelmente" que é considerado na Lógica Modal. c) O "tempo" é considerado na Lógica Temporal. d) O quantificador "existe", que é considerado na Lógica dePredicados l) "quase todo" é Considerado em Lógicas não Clássicas. m) "poucos" é considerado em Lógicas não Clássicas. 12. 13. 14. 15. 16. 17. Uma solução para este problema, que pode servir como paradigma para a solução dos outros exercícios, é apresentada a seguir. Inicialmente, é feita a seguinte pergunta a um dos indivíduos. 1a pergunta: Qual o caminho para o restaurante que cada um dos outrosindivíduos me indicará? Para simplificar a análise das respostas, considere as seguintes correspondências: • R ≡ caminho para o restaurante, • A ≡ caminho para o abismo, • NR ≡ não é possível responder. A primeira pergunta pode ser feita ao operário, ao estudante ou ao capitalista. Logo, há várias possibilidades de conjuntos de respostas. i) Se a primeira pergunta for feita ao estudante, haverátrês possibilidades de listas de respostas: Respostas possíveis do estudante: [R, A], [R, R], [A, A], [A, R]. A primeira lista de respostas, por exemplo, determina que um dos indivíduos indica o caminho para o restaurante e o outro o caminho do abismo. Observe que o estudante fala a verdade e/ou mente sobre as respostas dos outros indivíduos. Desta forma, ele sabe que o capitalista sempre

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