Listas-retas e planos

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UNIFACS – Universidade Salvador
Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear
Curso: Engenharias
Professor: Everton Lopes
2a Lista de Exercícios – Retas e planos
1) Escreva uma equação da reta r nos casos a seguir:
a) r passa pelo ponto P = (-2,-1,3) e tem a direção do vetor u = (2,1,1).
b) r passa pelos pontos A = (1,3,-1) e B = (0,2,3).
2) Verifique, em cada um dos casos abaixo, se oponto P pertence à reta r:
a) P = (-2,1,1) e r: X = (1,0,0) + h(-1,2,1); h Є R
b) P = (2,-1,-7) e r :



  
 
 
z t
y t
x t
5 2
2 3
1
; t Є R
c) P = (2,
2
1
,3) e r : x-1 = 2(y-2) =
3
z
3) Determine as equações reduzidas da reta r que:
a) Passa pelos pontos A = (1,1,-2) e B = (3,-2,1).
b) Passa pelo ponto A = (5,0,2) e tem a direção do vetor v = (2,-1,3).
c)Tem a seguinte equação: r: (x,y,z) = (-2,1,2) + h (3,1,-1) ; h Є R.
d) Tem a seguinte equação : r:



 
 
  
z h
y h
x h
1 5
2 3
; h Є R.
4) Verifique se as retas a seguir são paralelas (coincidentes ou não) ou ortogonais.
a) r1:



 
  
 
z t
y t
x t
1 4
1 6
2 2
; t Є R r2:
  
 
 
2 1
3 2
z x
y x
b) r1:




  
  z t
y t
x t
3
2
1 2
; t Є R r2:
  
  
 
2 3
4 1
z x
y x
c) r1:



 
 
 
z t
y t
x t
9
2 3
1 3
; t Є R r2:
  


  


3
9
1
1
4 z
y
x
5) Determine, se possível, o ponto de interseção entre as retas r e s dadas por:
a)
  
 
 
s : (x, y,z) (3,3,0) h (1,1,-1)
r : (x, y,z) (5,3,3) t(3,1,2)
; t e h Є R.
b)
  
  
s : (x, y,z) (2,1,0) h (-1,0,-1)
r : (x, y,z) (1,0,0) t(0,1,0)
; t e h Є R.
c)
  
 
 
s : (x, y,z) (1,3,-4) h (-1,2,-3)
r : (x, y,z) (-2,5,1) t(3,-4,2)
; t e h Є R.
6) Escreva uma equação do plano α nos seguintes casos:
a) α passa pelos pontos A = (1,0,2) e B = (2,-1,3) e é paralelo ao vetor v = (0,1,2)
b) α passa pelos pontos A = (3,1,-1) e B = (1,0,1) e é paralelo ao vetorCD ,
sendo C = (1,2,1) e D = (0,1,0).
c) α passa pelos pontos A = (1,0,2) e B = (1,0,3) e C = (2,1,3).
7) Verifique em cada um dos itens abaixo se o ponto P dado pertence ao plano π.
a) P = (1,-1,0) , π : X = (2,1,3) + h(1,0,1) + t(0,1,0) ; t e h Є R.
b) P = (2,1,3) , π : x + y – 2z + 3 = 0.
c) P = (3,2,2) , π :



 
  
  
z h
y h t
x h t
1
2
1
; t e h Є R .
8) Oponto P = (2,2,-1) é o pé da perpendicular traçada do ponto Q = (5,4,-5) ao
plano π. Determine uma equação de π.
9) Determine um vetor normal ao plano:
a) Determinado pelos pontos P = (-1,0,0), Q = (0,1,0) e R = (0,0,-1).
b) α: 2x-y+1 = 0
c) Que passa pelos pontos A = (1,0,1) e B = (2,2,1) e é paralelo ao vetor
v = (1,-1,3) .
d) α:




  
  
z h
y t h
x t h
1 2
1
; te h Є R
10) Determine uma equação do plano que passa pelo ponto P = (5,-2,4) e é paralelo
ao plano π :3x+y-6z+8=0.
11) a) Verifique se P = (1,3,-2) pertence a r:
  
    
  
3 4 0
2 2 1
x y z
x y z
b) Escreva uma equação da reta r que passa pelo ponto P = (1,1,1) e tem a
direção de um vetor normal ao plano α:



 
  
 
z t h
y t h
x t
2 3
1 2
; t e h ЄR
12) Determine a equação gera do plano β paralelo ao plano
α:




  
  
z t
y h t
x h t
3
2 2
1 2
; h e t Є R e que
a) Passa pelo ponto P = (3,2,0).
b) Passa pela origem do sistema de coordenadas.
13) Determine uma equação do plano α:
a) Que contém o eixo OX e passa pelo ponto P = (5,-2,1).
b) Que passa pelo ponto P = (-2,1,3) e é perpendicular à reta
r : X =(1,0,1) + h (1,-3,2); h Є R.
14) Estude a posição relativa dos planos abaixo:
a) α : (x,y,z) = (1,0,2) + t (2,1,0) + h (0,-1,3) ; t e h Є R.
β:



 
  
 
z h
y t h
x t
3
3 2
2 4
; t e h Є R
b) α : 2x-3y+z+1 = 0 e β: x+2y+4z-5 = 0
c) α : (x,y,z) = (-1,4,0) + t (2,0,1) + h (-3,2,0) ; t e h Є R. e β: 3x-y+z-1 = 0.
d) α : 9x+6y-3z+3 = 0 e β:



   
 
...
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