Lista de geometria resolvida

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GUIDG.COM – PG. 1

14/4/2010 – ALGA-1: Exercícios Resolvidos – Retas, Planos e Distâncias
* Da Lista de exercícios de Álgebra 1 – Retas, Planos e Distâncias (UDESC-CCT-JOINVILLE);
* Do Livro de Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch, Paulo Winterle.

Lista: exercício 4.
V
x + y + z@ 2 = 0
Dada a reta r:
como interseção de dois planos, obter a sua equação simétrica.
x + 3y @ z @ 2 = 0Solução:
Esta não é a única solução, porém é uma das mais fáceis. Para resolver precisamos de conhecimentos
sobre planos e retas.
1 – A reta r é dada na forma de interseção, portanto resolvemos o sistema para encontrar a equação
da reta ou o ponto, neste caso faremos para o ponto.
2 – Olhe para as equações da reta r, e veja que se fizermos x = 2 , as equações serão simplificadas.
r:

x +y + z@ 2 = 0
x + 3y @ z @ 2 = 0 Q fazendo x = 2 e somando as equações:

V

2 + y + z @ 2 + 2 + 3y @ z @ 2 = 0
y + z + 3y @ z = 0
4y = 0 [ y = 0
b

c

agora substituimos y = 0 na equação e encontramos z também igual à zero quando x = 2 :
z=0 [ y=z
Essas coordenadas encontradas são um ponto da reta interseção dos planos, portanto P=(2,0,0).
Agora só precisamos encontrar o vetor, hávárias maneiras, uma delas é o produto vetorial dos
vetores normais dos planos dados, e são facilmente encontrados, conhecendo-se a equação geral do
plano:
ax + by + cz @ ax1 @ by1 @ cz1 = 0
x + y + z@2 =0
então para r:
x + 3y @ z @ 2 = 0
V

b
c
b
c
j
k
j
j
j
j
k
j
j
j
os vetores são j 1,1,1 e j 1,3, @ 1
vj
vj
1
2

jj
kk
jj
jj
jj
j
Fazendo o produto vetorial j B j:
vj vj
1
2

L
L
Li
L
L
L1
L
L1

j
1
3

M
kM
M
M
M
1M =
M
@ 1M

d

b

c

eb

c

1 B @ 1 @ 3 B 1, @ 1 B @ 1 @ 1 B 1 ,1 B 3 @ 1 B 1 = @ 4,2,2
`

a

`

a

e este é o vetor simultaneamente ortogonal aos dois planos dados,
b

c

portanto é o normal de um outro plano que contém o ponto P = 2,0,0 !

Substituindo na equação geral do plano:
@ 4x + 2y +2z @ @ 4 2 @ 2 0 @ 2 0 = 0
`

a

@ 4x + 2y + 2z + 8 = 0

b

`a

`a

c

dividimos por 2 para simplificar, e encontramos o vetor da reta!

b
c
j
k
j
j
j
@ 2x + y + z + 4 = 0 [ j @ 2,1,1
vj
r

Agora substituímos na equação simétrica da reta:
xfffff yfffff zfffff
@ x1f @ y1f @ ff
fffff fffff ffff
ffff ffff ffz1f
fff
= fff = fff [
a
b
c

@0
xffff yffff zffff
@2ffff ffff ffff
ffff ffff ffff
ffff ffff @ 0 f
=
= fff ou
@2
1
1

xffff
@2
ffff
ffff
ffff
=y= z
@2

GUIDG.COM – PG. 2
Lista: exercício 15
Calcular as equações das retas r que contém o ponto A(2,-1,1) e que interceptam a reta
X
^ x = 1 + 2t
\
s: ^y = @ 1
segundo um ângulo de 45º.
Z
z=t
Solução:
O exercício não fornece figuras. Desenhado (veja a figura 1) é assim que areta r deve se parecer,
pois forma 45º com s. Nesse caso o ângulo dado só serve para encontrar o vetor diretor da reta r, isso
j
por que 45º é a metade de 90º. Então se encontrarmos um vetor perpendicular àk (chamaremos de
s
k
j
k
j
j
t ), então podemos encontrar r , porque podemos somar os vetores.

Temos a equação paramétrica da reta s, e pela formula identificamos o vetor e o ponto,então:
X
^x = ta + x = 1 + 2t
^
^
1
\
b
c
j
Então o vetor de s ék 2,0,1
s: ^y = tb + y1 = @ 1
s
^
^
Zz = tc + z = t
1

j
Agora precisamos de um vetor perpendicular ak 2,0,1 , pela condição de ortogonalidade, dois
s
b

c

vetores são ortogonais quando o produto escalar é igual a zero, então:
kk
jj

b

c`

s A t = 0 Q 2,0,1 x,y,z = 0
a

k
j

k
j

Note que acomponente b do vetor s é nula, fazendo o vetor t também pertencer ao plano x0z.
Fazendo xb= 1 temos: c
cb
s A t = 0 Q 2,0,1 1,y,z = 0 [ 2 + 0 + z = 0 [ z = @ 2

kk
jj

kb
j

c

Então t 1,0, @ 2

k
j

j
Agora somamos os vetores (veja a figura 2): t +k = 1,0, @ 2 + 2,0,1 = 3,0, @ 1
s

Que é o vetor diretor da reta r.

b

cb

cb

c

k
j

k
j
Pode-se fazer t @...
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