lista de exercicios de calculo

LISTA 1 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II Prof. Castañon
(1ª Parte)

1) Determinar as derivadas parciais

∂z
∂x

∂z
∂y

e

2x − 3y
;
x2 + 4 y

a)

Z =

c)

Z = ( 2 x − y ).e x . y

das funções abaixo listadas:

2 xy
;
3x − 2 y

b)

Z =

d)

Z = 2 x 2 . y. ln( 2 y )

2) Uma placa de metal aquecida está situada em um plano xy de modo que a temperatura no ponto (x, y) é dada por

T ( x, y ) = 10( x 2 + y 2 ) 2

Determine a taxa de variação de T em relação

ao ponto P(1,2) na direção:
a) do eixo das abscisas

b) do eixo das ordenadas

c)

v = (1,1)

3) Calcule a velocidade e a aceleração da partícula cujo vetor posição é dado por r(t)= (2ln (t+1)) i + t2 j no instante t = 2.

4) Encontre os vetores tangente unitário e normal unitário para a curva
-π/2

r(t) = t i + (ln cost) j ,

≤ t ≤ π/2
5) Encontre uma equação cartesiana para equação polar ࢘ = 2 ࢙ࢋ࢔ ࣂ + 2 ࢉ࢕࢙ ࣂ
6) Se ݂ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ = ‫ ݔ‬ଷ + ‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬ଷ − 2‫ ݕ‬ଶ o valor de

∂f
∂y

de ݂௬ ሺ1,2ሻ é

7) A temperatura num ponto ሺ‫ݖ ,ݕ ,ݔ‬ሻ é dada por ࢀሺ࢞, ࢟, ࢠሻ = ‫ݔݖ + ݖݕ + ݕݔ‬onde ࢀ é medido em ℃ e ࢞, ࢟, ࢠ em metros. A taxa de variação da temperatura no ponto ࡼሺ1, −1, 2ሻ em direção ao ponto
ࡽሺ4, 5, 0ሻ é
8) Em uma certa região do espaço o potencial elétrico ࢂ é dado por ࢂሺ࢞, ࢟, ࢠሻ = 5‫ ݔ‬ଶ − 3‫+ ݕݔ‬
‫ . ݖݕݔ‬No ponto ࡼሺ3, 4, 5ሻ, a direção em que em que ࢂ varia mais rapidamente é dada pelo vetor
9) A espiral logarítmica é a curva plana definida por

γ (t ) = ( e − t . cos(t ); e − t .sen(t )) .

Calcule o comprimento do arco entre t = 0 e t = 1.
10)

Considere

r (t ) = (1, t 2 , t 3 )

o vetor posição de um objeto. Determine o vetor

velocidade do objeto no ponto (1, 1, 1). Calcule, também, a distância percorrida pelo objeto entre os pontos (1, 0, 0) e (1, 4, 8).