Lista calculo

Lista 1

C´lculo II -Ba

2012-1

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Universidade Federal Fluminense
EGM - Instituto de Matem´tica a GMA - Departamento de Matem´tica Aplicada a

LISTA 1 - 2012-1
Dom´ ınio, curva de n´ e gr´fico ıvel a de fun¸ao real de duas vari´veis c˜ a Dom´ ınio e superf´ de n´ ıcie ıvel de fun¸ao real de trˆs vari´veis c˜ e a

Nos exerc´ ıcios 1. a 8. descreva e esboce o maior dom´ ınio poss´ da fun¸˜o real de duas ou de ıvel ca trˆs vari´veis, isto ´, descreva analiticamente e represente geometricamente o maior subconjunto do e a e R2 ou do R3 que torna a express˜o que define a fun¸˜o, verdadeira em R. a ca 1. f (x, y) = x2 − y 2 x2 + y 2 5. f (x, y) = ln(xy − 1) 6. f (x, y) = arcsen (x − y) √ 7. f (x, y, z) = y + 25 − x2 − y 2 − z 2 √ √ 4 − x2 + 9 − y 2 √ 8. f (x, y, z) = 1 − z2

2. f (x, y) = ln x + ln y √ 3. f (x, y) = |x| − |y| √ 4. f (x, y) = 1 − x2 − y 2 9. Considere a fun¸˜o de duas vari´veis ca a f:

D ⊂ R2 → R (x, y) → z = f (x, y) = x2 + y 2

definida em um subconjunto D de R2 . Fa¸a um esbo¸o do gr´fico de f em cada um dos trˆs c c a e casos abaixo. (a) D = {(x, y) ∈ R2 ; x2 + y 2 ≤ 1}. (b) D = {(x, y) ∈ R2 ; −1 ≤ x ≤ +1 e − 1 ≤ y ≤ +1}. (c) D = {(x, y) ∈ R2 ; x2 /4 + y 2 /9 ≤ 1}. 10. Considere a fun¸˜o ca ( ) z = f (x, y) = ln ex+y − 1 .

(a) Escreva a equa¸˜o da curva de n´ de f que cont´m o ponto (8, 2) e da curva de n´ que ca ıvel e ıvel cont´m o ponto (−2, 3). e ca ıvel e (b) Mais geralmente, escreva a equa¸˜o da curva de n´ de f que cont´m o ponto (a, b), com b > −a. (c) Mostre que o valor de f sobre a reta y = −x + 2 ´ constante, isto ´, que y = −x + 2 est´ e e a contida em um conjunto de n´ de f . ıvel (d) Mostre que o valor de f sobre a reta y = −x + 3 ´ constante, isto ´, que y = −x + 3 est´ e e a contida em um conjunto de n´ de f . ıvel (e) Se, por um momento, f representasse um lucro e vocˆ fosse um empres´rio, em qual reta e a vocˆ gostaria de estar: y = −x + 2 ou y = −x + 3? Justifique sua resposta. e Nos exerc´ ıcios 11. a 18. esboce