Lista de cálculo

OPERADORES DIFERENCIAIS Este trabalho será apresentado ao Instituto Superior Tupy, na disciplina de Cálculo III, ministrada pelo Prof. Danni Prestini, no curso de Bacharelado em Engenharia Civil, turma ECV 331, como requisito para nota parcial.

Joinville 2013/1
1. INTRODUÇÃO
No cálculo vetorial o gradiente (ou vetor gradiente) é um vetor que indica o sentido e a direção de maior alteração no valor de uma quantidade por unidade de espaço. Possui diversas aplicações, desde o cálculo de derivadas direccionais à maximização das mesmas. É representado pelo símbolo Nabla, escrito como
, cujo nome vem de uma palavra grega para um tipo de harpa com uma forma semelhante.
A proposta do seguinte trabalho considera que uma montanha, cuja altura é definida pela equação h(x, y) = 0,4638x- 0,3567x² + 0,0572x³ - 0,2007y + 0,5282y² - 0,1458y³ + 0,618 (km) abriga um vulcão prestes a entrar em erupção. Estudos geológicos térmicos da superfiície apontam alguns lugares críticos sujeitos a sofrer o rompimento da rocha e consequente formação de cratera durante o ocorrido, originando lava corrente.
O objetivo é prever o caminho do rio de lava com base na geometria da montanha e nos pontos de provavél erupção fornecidos.
É através da aplicação do gradiente que podemos determinar a equação vetorial que fornece o caminho e gráfico da seguinte problemática apresentada:

Onde representa o vetor tangente à trajetória projetada no plano xy, sendo igualado por - de acordo com o ponto de vista da matemática-física, onde o fluxo de lava segue sempre para o sentido de maior declive, ou seja, sentido contrário ao gradiente da altura. Define-se, portanto:

A serem integradas por meio de frações parciais, gerando com isso x(t) e y(t), componentes do vetor de posição r(t), r = [x(t); y(t)] que representa a trajetória no plano xy.

2. DESENVOLVIMENTO

h (x,y) = 0,4638x- 0,3567x² + 0,0572x³ - 0,2007y + 0,5282y² - 0,1458y³ + 0,618