lista algebra

Lista de àlgebra linear com os exercicios resolvidos.
Transformação Linear
Definição: Sejam V e W espaços vetoriais. Diz-se que F:V toW é uma aplicação linear se satisfaz às duas propriedades seguintes:

Para quaisquer u,vinU: F(u+v)=F(u)+F(v).

Para qualquer kinR e qualquer vinU: F(kv)=k.F(v).

Definição alternativa 1: Sejam V e W espaços vetoriais. F:VtoW é uma aplicação linear se, para quaisquer u,vinU e quaisquer a,binR se tem que

F(au+bv) = aF(u) + bF(v)

Definição alternativa 2: Sejam V e W espaços vetoriais. F:V toW é uma aplicação linear se, para quaisquer u,v inU e qualquer b inR se tem que

F(u+bv) = F(u) + bF(v)
Observações importantes:

Uma aplicação linear também recebe o nome de Transformação linear.

Na literatura mais recente sobre Álgebra Linear, quando V=W, a aplicação F recebe o nome de operador linear e quando W=R, recebe o nome de funcional linear.

Se F:V toW é uma aplicação linear, então F(0)=0, onde o primeiro 0 é o vetor nulo de V e o segundo 0 é o vetor nulo de W.

Para provar que uma aplicação é linear, devemos demonstrar que valem as duas propriedades descritas na definição, mas para mostrar que uma transformação não é linear, basta exibir a propriedade que não é satisfeita.

Teorema sobre a composta de transformações lineares
Teorema: Sejam F:UtoV e G:VtoW transformações lineares. A composta GoF:UtoW também é uma transformação linear.

Demonstração: Sejam u,vinU e kinR. Assim

(GoF)(u+kv) = G(F(u+kv)) Definição de composta = G(F(u)+F(kv)) Linearidade de F = G(F(u))+G(k.F(v)) Aditividade de G = G(F(u))+k.G(F(v)) Homotetia de G = (GoF)(u)+k.(GoF)(v) Definição de composta
Exemplo: Dadas as transformações lineares S:R³toR² definida por S(x,y,z)=(x,y+z) e T:R²toR³ definida por T(x, y)=(3x,2y,x+y), a transformação composta P:R² toR² tal que P=SoT é linear, pois

(SoT)(x,y) = S(T(x,y))=S(3x,2y,x+y)=(3x,2y+x+y)=(3x,3y+x)

Teorema: Sejam V e W espaços vetoriais reais, uma base de V denotada por