Lista de Algebra Aplicada

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARA
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CENTRO DE CIENCIAS
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DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
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ALGEBRA APLICADA I
Prof. Dr. Raimundo Alves Leit˜o J´ nior a u
Lista 1
ESPACO VETORIAL
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1. Considere o conjunto Rn := {(x1 , · · · , xn ) : xi ∈ R, i = 1, . . . , n} munido das opera¸˜es: co (a) (x1 , . . . , xn ) + (y1 , . . . , yn ) := (x1 + y1 , . . . , xn + yn ).
(b) λ · (x1 , · · · , xn ) := (λx1 , . . . , λxn ).
Verifique que Rn ´ um espa¸o vetorial. e c
2. Mostre que os seguintes conjuntos s˜o subespa¸os: a c
{
}
(a) W = (x1 , . . . , x4 ) : xi ∈ R4 : x1 + x2 = 0, x3 − x4 = 0 .
{(
)
}
a b
(b) W =
∈ M (2 × 2) : b = c = 0 . c d
3. Considere dois vetores no plano (a, b) e (c, d). Se ad − cd = 0, prove que eles s˜o LD. Se ad − cd ̸= 0, mostre que eles s˜o LI. a a
4. Exiba uma base e determine a dimens˜o dos espa¸os vetoriais abaixo: a c
(a) M (2 × 3).
(b) M (n × m).
(c) Matrizes diagonais n × n.
(d) V = {(x, . . . , x) : x ∈ R}.
(e) V = {(x, 2x, 3x) : x ∈ R}.
5. 
Seja
0
 1
0

W o subespa¸o de M (2 × 3) gerado pelos vetores c 




0 2
0 1
0 1
0
1   0 −1   0 0 . O vetor  3 4  pertence a W?
5 0
0 0
1 0
0

6. Sejam U = [(1, 0, 0)] e W = [(1, 1, 0) , (0, 1, 1)]. Mostre que R3 =
U ⊕ W. Fa¸a uma figura indicando os subespa¸os U e W. c c
1

7. Se U e W s˜o subespa¸os do espa¸o vetorial V que tem dimens˜o finita, a c c a mostre que dimU ≤ dimV e dimW ≤ dimV. Ademais, dim (U + W) = dimU + dimW − dim (U ∩ W) .
Dados V = [(1, 1, 0) , (0, 0, 1)] e W = [(1, 0, 1) , (0, 1, 1)] calcule dim (U ∩ W).
8. Mostre que, se V = W1 ⊕ W2 e α = {v1 , . . . , vk } ´ uma base de W1 , e β = {w1 , . . . , wr } ´ uma base de W2 ent˜o γ = {v1 , . . . , vk , w1 , . . . , wr } e a
´ uma base de V. Este resultado continua verdadeiro se a soma n˜o e a for direta? Justifique.
{
}
9. {
Sejam W1 = (x, y, z, t) ∈ R4 : x + y = 0, z − t = 0 e α = W2 =
}
(x, y, z, t) ∈ R4 : x − y − z + t = 0 subespa¸os de R4 .
c