limites

Limites envolvendo infinito
Conforme sabemos, a expressão x
(x tende para infinito) significa que x assume valores superiores a qualquer número real e x
(x tende para menos infinitos), da mesma forma, indica que x assume valores menores que qualquer número real.
Exemplo:

a)

, ou seja, à medida que x aumenta, y tende para zero e o limite é zero.

b)

, ou seja, à medida que x diminui, y tende para zero e o limite é zero.

c)
, ou seja, quando x se aproxima de zero pela direita de zero por valores maiores que zero, y tende para o infinito e o limite é infinito.

ou

d)
, ou seja, quando x tende para zero pela esquerda ou por valores menores que zero, y tende para menos infinito
Limite de uma função polinomial para
Seja a função polinomial

Demonstração:

. Então:

Mas:

Logo:

De forma análoga, para

, temos:

Ao se trabalhar com limites no infinito de funções racionais, é muito útil dividir o numerador e o denominador pela variável independente elevada à maior potência que apareça na fração.

5x 2
Quando x cresce, tanto o numerador x   2 x 2  3

Exemplo 1: Calcule o limite dado lim

como o denominador crescem, ficando difícil prever o que acontece à fração.
5x 2 x2 5x 2
5


2
2
3
2x  3 2x
3
 2 2 2
2
x x x

Quando x tende a +,

5x 2
 lim x   2 x 2  3 x  

também tende a zero. lim

2x  5

Exemplo 2: lim

x  

2x  5

lim

x  



lim

2x 2  5

2x 2  5

 lim

x  

2  50
5 

lim  2  2  x   x 


x  

2x  5
2x 2  5



 2

5
2

3 x2 

1
3
tende a zero, logo 2
2
x x 5
5
 logo, 20 2

Indeterminação do tipo

5x 2
5
 x   2 x 2  3
2
lim




5

2x 5
5
5 lim  2  

2
2
x   x  x x  lim x x 
 lim

x  
5
5
2 x 2  5 x   2 x 2 5
2 2 lim 2  2
 2 x   x x x x2 x 2
2  50



2
2



2 2
2 2

