Limites

Em matemática, o conceito de série, ou ainda, série infinita, surgiu da tentativa de generalizar o conceito de soma para uma seqüência de infinitos termos.
Esta generalização, longe de acontecer de forma impune, traz diversas dificuldades: * nem sempre é possível definir um valor resultante da soma para uma série; * não é possível em geral trocar a ordem dos termos da série; * algumas séries possuem soma infinita.
Embora a idéia de soma infinita seja bastante antiga, uma formulação matemática rigorosa só veio a surgir no século XVIII, com o advento da análise real, que denota e define uma série de termos da seguinte forma:

A teoria das séries divergentes generaliza este conceito de soma para alguns casos quando este limite não existe.
Considere a dízima periódica que resulta da divisão de 1 por 3:

Esta dízima pode ser reinterpretada como a soma da série:

E neste caso, dizemos que a soma desta série é
Notação

Cauchy formaliza o estudo das séries.
Se forem os termos da seqüência que desejamos somar. A soma da série será:

No exemplo anterior, temos , que forma uma progressão geométrica de razão .
Chamamos de soma parcial até o termo N, a soma dos N primeiros termos de uma série:

Definição
Define-se a soma de uma série infinita, o limite das somas parciais quando este limite existe:

Quando este limite existe, definímos ainda o resíduo de ordem n da série, pela seguinte série:

Esta definição nos permite escrever: para todo
A soma parcial pode, portanto, ser interpretada como uma aproximação para a soma da série, enquanto que o resíduo é o erro desta aproximação.
É claro que:

Aspectos históricos

Aquiles
A consideração de somas infinitas é um problema estreitamente ligado ao problema da passagem ao limite. A falta por longo período de conceitos adequados e de uma teoria razoável levou os matemáticos a numerosas especulações e paradoxos a respeito da natureza das séries infinitas, a exemplo do paradoxo de Zenão.
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