lei dos senos e lei dos cossenos aula 07

Lei dos Senos e Lei dos Cossenos

Notas de Aula 07 –
Semestre 2 - 2010
Tópicos Fundamentais de Matemática - Licenciatura em Matemática –
Osasco -2010

Lei dos Cossenos
Consideremos um triângulo de lados a,b e c. Temos duas possibilidades: ou o triângulo é acutângulo ou é obtusângulo. Vejamos:
Triângulo Obtusângulo
Tomemos um triângulo Obtusângulo qualquer, conforme abaixo

Podemos escrever

Utilizando o teorema de Pitágoras obtemos

E então

Também podemos escrever

E teremos

Portanto,

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Semestre 2 - 2010
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Osasco -2010

Mudando a posição do triângulo obtusângulo, podemos mostrar de forma análoga como fizemos para a expressão (2), que considera o ângulo agudo que: Triângulo Acutângulo
Se, por outro lado, tomarmos um triângulo acutângulo teremos:

Também,

De onde concluímos que,

Mudando a posição do triângulo acutângulo, podemos mostrar de forma análoga como fizemos para a expressão (4), que considera o ângulo agudo que: E

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Osasco -2010

As expressões (1), (2), (3), (4), (5) e (6) nos demonstram a Lei dos Cossenos que afirma que:

Em qualquer triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados menos duas vezes o produto das medidas desses lados e do cosseno do ângulo determinado por eles.

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Semestre 2 - 2010
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Osasco -2010

Lei dos Senos

Se tomarmos um triângulo ABC qualquer, sabemos da Geometria que sempre é possível inscrevê-lo numa circunferência, conforme a figura abaixo:

Se traçarmos uma reta que passa pelo vértice B e pelo centro da circunferência, a intersecção desta reta com a circunferência nos fornece o ponto D.