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Cálculo Diferencial.
Função
Uma função de um conjunto A em conjunto B, indicada por f: A→B é uma associação de elementos de A com elementos de B de modo que cada elemento de A esteja associado a um e apenas um elemento de B.
Indicamos a associação por f: x↦y que lemos f associa x a y, f transforma x em y, x é levado em y por f ou y é o correspondente de x por f. x é chamado variávelindependente e y variável dependente.
O conjunto A é chamado de Domínio da função f, indicado por D(f), e B de Contra Domínio.
Para um elemento x do domínio indicamos por f(x) o seu correspondente no contra domínio que é chamado valor da função f no ponto x ou imagem de x por f.
O conjunto de todos os valores assumidos pela função f é chamado imagem de f e indicado por Im(f). Indicamos o conjuntoimagem por Imf=y∈B | y=fx para algum x∈A.
Ilustramos o conceito de função por uma figura como indicado abaixo chamada Diagrama
a1
a2

a3
a4
a5

b1b2

b3
b4

A B


f



As setas indicam asassociações: a1 está associado a b1, a2 a b2, a3 e a4 a b3 e a5 a b4.
Veja que dois elementos distintos do conjunto A podem ter o mesmo correspondente no conjunto B, mas dois elementos distintos de B não podem ser correspondentes de um único elemento de A ou, em outras palavras, um elemento de A não pode ser ou estar associado a dois ou mais elementos de B.
Aqui vamos trabalhar com funções reais de uma ouvárias variáveis reais cujas associações são estabelecidas por uma ou várias sentenças matemáticas. O domínio será o subconjunto de ou de Rn cujos números ou n-uplas podem ser substituídos(as) na(s) expressão(ões).

Exemplos
1. f:R→R definida por fx=x2
Df=R e Imf=[0,+∞).
2. f:R→R definida por fx=1x não está definida para x=0 e dado y≠0, tomando x=1y vamos ter fx=11y=y. Assim concluímosque
Df=R-0=R* e Imf=R-0=R*.
. f:R→R definida por fx=1+1x-1 não está definida para x=1 e dado y≠1, tomando x=1+1y-1 vamos ter fx=1+11+1y-1-1=1+11y-1=1+y-1=y. Assim concluímos que
Df=R-1= e Imf=R-1.
4. f:R→R definida por fx=x=x se x≥0-x se x<0
É claro que Df=R e Imf=R+.
5. f:R→R definida por fx=x não está definida para x<0 e dado y≥0, tomando x=y2 vamos ter fx=y2=y=y. Assimconcluímos que
Df=R+ e Imf=R+.
6.f:R→R definida por fx=-1/x-1 não está definida para x-1≤0 ou x≤1 e dado y<0, tomando x=1/y2+1 vamos ter
fx=-11/y2+1-1=-11y2=-y2=-y=--y=y. Assim concluímos que
Df=x∈R ;x>1=(1,+∞) e Imf=-∞,0=R-*.
7 .f:R→R definida por fx=x2 se x≤26-x se x>2
É claro que Df=R e Imf=R.
8.f:R→R definida por fx=x+1 se x≤-1 x2+2 se-1<x≤1x-3 se x>1Verifique que Df=R e Imf=(-∞,3].
Uma maneira muito eficiente para se entender que valores podem assumir as variáveis independentes e que valores a função assume é o esboço do gráfico da mesma.
O gráfico de uma função f é o conjunto de pontos do plano cartesiano descrito abaixo

Gf=x,y∈R2;y=f(x)=x,f(x); x∈D(f)

Vamos no futuro ter condições sob as quais podemos fazer com precisãoo esboço do gráfico de uma função. Por enquanto nos contentamos em marcar alguns pontos obtidos e expressos em uma pequena tabela e a partir deles intuitivamente “completar” o gráfico.
A função do exemplo 1tem um gráfico como indicado abaixo usando valores da tabela a sua esquerda.

x | fx=x2 | |
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2...
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