Intergrais

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Integrais Múltiplas
1- Revisão de Integral de Funções a uma Variável 1.1- Integral Indefinida
Definição: Uma função F será chamada de antiderivada ou primitiva de uma função f num intervalo I se ′ () = (), para todo ∈ I. O processo de se determinar todas as antiderivadas de uma função é chamado antidiferenciação ou integração. Para indicar que a operação de integração deve ser executadasobre uma função f, usamos a notação: = + o que nos diz que a integral indefinida de f é a família de funções dada por + , onde ′ = ().

1.2- Tabela de Algumas Integrais Indefinidas
1 = + +1 = + com ≠ −1 + 1

2 3 4 5 6 7 Exemplos: 1) 2) 5 =

= + ln()

com > 0 ≠ 1

= + () = () + = −() + 1 = ln + ≠ 0

2+1 7/2 2 5/2 = = = 7/2 + 7/2 7/2 75

cos = () +

1

1.3 – Principais Propriedades das Integrais
1) 2) . = . ± =

=

±

Exemplos:
1) 5 3 + 2 cos 5 3 + 2 cos = 5 3 + 2 cos = 5 3 + 2 cos =

=5

4 5 + 1 + 2 + 2 = 4 + 2 + 51 + 22 = 4 4 = 51 + 22

5 = 4 + 2 + 4

2)

8 3 − 6 + 8 3 − 6 +

1 3 8 3 + −3 = −6 + 1 = 3

1 = 3 1/2 +

= 83 − 6

=8

4 3/2 −2 1 + 1 − 6 + 2 + + 3 = 2 4 − 4 3/2 − 2 + 81 − 62 + 3 = 4 3/2 −2 2 1 + 2 2

= 2 4 − 4 3/2 −

3)

(2 − 1)2 2 4 − 22 + 1 = 2 2 − 2 + 2 − 2 + 1 = 2 2 − 2 + 1 = 2

=

=

−2 =

3 −2+1 − 2 + + = 3 (−2 + 1)

=

3 1 − 2 − + 3 2

1.4 – Técnicas de Integração – Método da Substituição
Método da Substituição
, ′ = , ã

() . ′ () =çã: Exemplos: 1) 2 →

+ = + .

= () → = ′

= 2 ∴ = = 2 2 1 = 2 2 2) 4

1 1 () = − cos + = − cos 2 + 2 2

= 4 ∴ = = 4 4



1 = 4 4

1 4 = . + = + 4 ln 4. ln

3)

3 + 4 → 1 = 3 3
1/2

= 3 + 4 ∴ = = 3 3 = 4)

1 = 3

2 2 3 + = (3 + 4)3 + 9 9 . 2 = 2 ∴ = → = 2 2
2

3 2 3 2

cos

1 1 = + = 2 +2 2 2

3 5) . 3 = ∴ 2 = 3 3 = 2 3 sen = − + = − + 3 3 3
3

1.5 – Técnicas de Integração – Integração por Partes
Integração por Partes
= = ã çõ á, ã

. ′ () = . − = → = ′ = → = ′ () →

′ = . −

Exemplos: 1) . → = . −

= =

= →

= = −cos⁡ () − = −. cos() + () +

. = −. — 2) . 5 →

=. −

= = . 5 = .

= 5 →

= 5 5 = ln 5

5 5 5 1 − = . − . 5 = ln 5 ln 5 ln 5 ln 5 5 1 5 5 1 5 . 5 − 1 . − . + = − + = + ln 5 ln 5 ln 5 ln 5 ln 5 ln2 (5) 3) . 2
=

2

→ →

= . − = =
2



= =

1 = 2 = 2 2 → = 2 2
2

4)

2

= 2

2



2

2

= 2 →



4 2

2

+ = 2

2

− 2 +

. 4

= .− =

= =

= 4 →

1 . 4 = − . cos 4 − 4

4 = 4 = 4 −cos(4) = () 4 → = 4 −cos(4) 1 (4) = − . cos 4 + + 4 4 16
4

1.6- Integral Definida
Seja () uma função a uma variável, definida no intervalo [, ]. Suponha este intervalo [, ] subdividido sub-intervalos de comprimento iguais a ∆ e seja ∗ um ponto de um sub-intervalo i, onde 1 ≤ ≤ . A soma de Riemann é dada por∗ ∆
=1

Se for tomado o limite deste somatório quando → ∞ obtemos a integral definida de de a até .


() = lim

→∞

∗ ∆ →
=1

Se > 0 em todo o intervalo [, ], a integral definida representa a área abaixo da curva da função e acima do eixo dos . Se < 0 em todo o intervalo [, ], a integral definida terá valor negativo, o módulo deste valor representa a área abaixo doeixo dos e acima da curva da função. A integral definida é a área líquida, ou seja, é a diferença entre a área sob a curva de uma função que está acima do eixo horizontal x com a que está abaixo do eixo x. A integral definida é um número e não uma função.
y

y=f (x)



= 1 − 2 + 3

1 a 2 c

3 b x

5

Teorema Fundamental do Cálculo , , ′ = , ã

= − () =...
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