Intergrais

Integrais Múltiplas
1- Revisão de Integral de Funções a uma Variável 1.1- Integral Indefinida
Definição: Uma função F será chamada de antiderivada ou primitiva de uma função f num intervalo I se ′ () = (), para todo ∈ I. O processo de se determinar todas as antiderivadas de uma função é chamado antidiferenciação ou integração. Para indicar que a operação de integração deve ser executada sobre uma função f, usamos a notação: = + o que nos diz que a integral indefinida de f é a família de funções dada por + , onde ′ = ().

1.2- Tabela de Algumas Integrais Indefinidas
1 = + +1 = + com ≠ −1 + 1

2 3 4 5 6 7 Exemplos: 1) 2) 5 =

= + ln()

com > 0 ≠ 1

= + () = () + = −() + 1 = ln + ≠ 0

2+1 7/2 2 5/2 = = = 7/2 + 7/2 7/2 7

5

cos = () +

1

1.3 – Principais Propriedades das Integrais
1) 2) . = . ± =

=

±

Exemplos:
1) 5 3 + 2 cos 5 3 + 2 cos = 5 3 + 2 cos = 5 3 + 2 cos =

=5

4 5 + 1 + 2 + 2 = 4 + 2 + 51 + 22 = 4 4 = 51 + 22

5 = 4 + 2 + 4

2)

8 3 − 6 + 8 3 − 6 +

1 3 8 3 + −3 = −6 + 1 = 3

1 = 3 1/2 +

= 8

3 − 6

=8

4 3/2 −2 1 + 1 − 6 + 2 + + 3 = 2 4 − 4 3/2 − 2 + 81 − 62 + 3 = 4 3/2 −2 2 1 + 2 2

= 2 4 − 4 3/2 −

3)

(2 − 1)2 2 4 − 22 + 1 = 2 2 − 2 + 2 − 2 + 1 = 2 2 − 2 + 1 = 2

=

=

−2 =

3 −2+1 − 2 + + = 3 (−2 + 1)

=

3 1 − 2 − + 3 2

1.4 – Técnicas de Integração – Método da Substituição
Método da Substituição , ′ = , ã

() . ′ () = çã: Exemplos: 1) 2 →

+ = + .

= () → = ′

= 2 ∴ = = 2 2 1 = 2 2 2) 4

1 1 () = − cos + = − cos 2 + 2 2

= 4 ∴ = = 4 4

→

1 = 4 4

1 4 = . + = + 4 ln 4. ln

3)

3 + 4 → 1 = 3 3
1/2

= 3 + 4 ∴ = = 3 3 = 4)

1 = 3

2 2 3 + = (3 + 4)3 + 9 9 . 2 = 2 ∴ = → = 2 2
2

3 2 3 2

cos

1 1 = + = 2 + 2 2 2