INTEGRAL DEFINIDO

INTEGRAL DEFINIDO
Se f é uma função de x, então a sua integral definida é uma integral restrita à valores em um intervalo específico, digamos, a ≤ x ≤ b . O resultado é um número que depende apenas de a e b, e não de x.
DEFINIÇÃO
Seja f uma função contínua no intervalo [a, b]. Suponha que este intervalo seja dividido em n partes iguais de largura ∆x = (b − a) / n e seja x j um número pertencente ao j-ésimo intervalo, para j = 1, 2, ..., n. Neste caso, a integral definida de f em [a, b], denotada por , é dada por , se este limite existir. Pode-se mostrar que se a função y = f (x) é contínua em um intervalo [a, b], então ela é integrável em [a, b].
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA Suponha que y = f (x) seja contínua e positiva em um intervalo [a, b]. Dividimos este intervalo em n sub-intervalos de comprimentos iguais, ou seja, de comprimento , de modo que . Seja um ponto qualquer no sub-intervalo , k = 1, 2, ..., n . Construímos em cada um desses sub-intervalos retângulos com base ∆x e altura , conforme a figura abaixo:

A soma das áreas dos n retângulos construídos é dada pelo somatório das áreas de cada um deles, isto é: OBSERVAÇÃO:
Na definição de integral definida consideramos uma função contínua qualquer, podendo assumir valores negativos. Nesse caso o produto representa o negativo da área do retângulo. Portanto, se f (x) < 0 para x [a, b], então a área da região limitada pelo gráfico de f, pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b é dada por

TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO INTEGRAL
Se y = f (x) é uma função contínua no intervalo [a,b] e F′(x) = f (x) [isto é, F(x) é uma primitiva ou anti-derivada f (x) ], então

EXEMPLO 1:
Use integração para calcular a área das regiões delimitadas pelo eixo x e pela funções abaixo: f(x) = , no intervalo [0, 9].
Gráfico de f(x)

RESOLUÇÃO:

EXEMPLO 2:
O cálculo da área da região limitada pelos gráficos de duas, ou mais, funções abaixo. f(x) = 4x e de g(x) = x³. As intersecções ocorrem em x = 0