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C´lculo III a Departamento de Matem´tica - ICEx - UFMG a Marcelo Terra Cunha

Campos Vetoriais e Integrais de Linha
Um segundo objeto de interesse do C´lculo Vetorial s˜o os campos de a a vetores, que surgem principalmente na hidrodinˆmica e no eletromagnetismo. a Os principais teoremas do c´lculo vetorial envolvem campos, alguma no¸˜o a ca de derivada e algum tipo de integra¸˜o, podendo ser considerados irm˜os do ca a
Teorema Fundamental do C´lculo. Na aula de hoje j´ veremos um desses a a casos. 9.1

Campos Vetoriais

Se U ⊂ Rm , uma fun¸˜o F : U → Rn ´ dita um campo vetorial . Na ca e maioria dos exemplos, m = n. A intui¸˜o f´ ca ısica pode ser criada pensando em um fluxo. Considere, por exemplo, um rio que corre suavemente, sem muitas varia¸˜es temporais (o tempo tamb´m pode ser considerado como co e uma vari´vel do dom´ a ınio, mas deixe isso para um segundo pensamento): para cada ponto deste rio, podemos considerar um vetor velocidade para a part´ ıcula que ocupa aquele ponto. Isso vai definir um campo de vetores
(n = 3, se considerarmos que o rio tem profundidade e que a ´gua pode subir a e descer), definido na regi˜o U que corresponde ao rio em quest˜o. a a
Outros exemplos tamb´m podem ser considerados. O campo el´trico e e gerado por uma distribui¸˜o de cargas; o campo gravitacional de uma disca tribui¸˜o de mat´ria (em f´ ca e ısica newtoniana); o campo de velocidades para part´ ıculas atmosf´ricas (essencial para a meteorologia, e an´logo ao exemplo e a do rio, no par´grafo anterior). a H´ um exemplo de outra coisa, que tamb´m deve ser entendido: se pena e sarmos na temperatura atmosf´rica como fun¸˜o da posi¸˜o, n˜o teremos um e ca ca a campo vetorial, pelo simples fato de a temperatura n˜o ser um vetor. Em a alguns contextos, ´ comum dizer que este ´ um campo escalar . Do mesmo e e modo, se pensarmos no potencial el´trico gerado por uma distribui¸˜o de e ca cargas, ou no