Integrais por partes

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Calcular o valor, em função de x, das seguintes integrais, aplicando o método de integração por partes: ( ⌠ ⌠ O método tem a seguinte fórmula: u dv = u v − v du ⌡ ⌡ )

1)

⌠ I = x2 sen( x ) dx ; ⌡ Solução

considerando:

u = x2 => du = 2x dx dv = sen(x)dx => v = −cos( x ) substituindo em I , temos:

⌠ ⌠ ⌠ I = u dv = u v − v du = −x2 cos( x ) − −cos( x ) 2 x dx = ⌡ ⌡ ⌡ ⌠ −x2 cos(x ) + 2 x cos( x ) dx ⌡

⌠ fazendo J = 2 x cos( x ) dx ⌡ considerando w = x => dw = dx dz = cos(x) dx => z = sen(x) substituindo em J , temos: ⌠ ⌠ ⌠ J = 2 w dz = 2 w z − 2 z dw = 2 x sen( x ) − 2 sen( x ) dx = 2 x sen(x) + 2 ⌡ ⌡ ⌡

cos(x) + K

logo, temos:

I = −x2 cos( x ) + J

=

−x2 cos( x ) + 2 x sen(x) + 2 cos(x) + K

------------------------------------------Page 1

2)⌠ I = ln( tg( x ) ) sec( x )2 dx ⌡ Solução sec( x )2

considerando u = ln(tg(x)) dv = sec( x )2dx

=>

tg( x ) => v = tg(x)

du =

dx

substituindo em I , temos: ⌠  tg( x ) sec( x )2 ⌠ ⌠ I = u dv = u v − v du = ln( tg( x ) ) tg( x ) −  dx =  ⌡ ⌡ tg( x )  ⌡ ⌠ ln( tg( x ) ) tg( x ) − sec( x )2 dx = ⌡ = ln( tg( x ) ) tg( x ) − tg( x ) + K = tg( x ) ( ln( tg( x ) ) − 1 ) + K------------------------------------------

3)

⌠  x ex I =  dx ;   ( 1 + x )2 ⌡ Solução considerando u = x ex du = (ex + x ex) dx = ex ( 1 + x ) dx 1 1 dv = dx => v = − 1+x ( 1 + x )2 =>

sustituindo em I , temos:

Page 2

⌠ ⌠ I = u dv = u v − v du = ⌡ ⌡ = − x ex 1+x + ex + K =

⌠ x  e (1 + x) x ex ⌠ x − − − dx = − + e dx = 1+x  1+x 1+x ⌡  ⌡  x  1 ex x  + K = ex e 1 −+ K = + K  1+x 1+x 1+x  x ex

-----------------------------------------

4)

⌠ I = x2 ln( x + 1 ) dx ; ⌡ Solução 1 x+1

considerando u = ln( x + 1) dv = x dx
2

=> du = x3

dx

3 substituindo em I , temos: x3 ⌠  x3 ln( x + 1 ) −  3 ( x + 1 ) dx = 3  ⌡ x3 3 1 3

=> v =

⌠ ⌠ I = u dv = u v − v du ⌡ ⌡ ⌠ 3  x   x + 1 dx =  ⌡ x3

=

ln( x + 1 ) −

⌠ 1 2 1 x3 1= ln( x + 1 ) − x − x + 1 − dx = ln( x + 1 ) − ( 3 3 x+1 3 3  ⌡ ⌠  1 ⌠ 2 ⌠ ⌠ x dx − x dx + 1 dx −  dx ) = x + 1 ⌡ ⌡ ⌡  ⌡ 3 x 1 x3 x2 x3 1 x3 = ln( x +1) − ( − + x − ln( x + 1 ) ) + K = ln( x +1) + ln( x + 1 ) − + 3 3 3 2 3 3 9 x2 x − + K 6 3
Page 3

-------------------------------------------

5)

⌠  ln( x ) I =  dx ;  x  ⌡

Solução considerando u = ln(x) dv = 1 => du = 1x dx

dx => v = ln(x) x substituindo em I , temos: ⌠ ⌠ I = u dv = u v − v du ⌡ ⌡ ⌠  ln( x ) ln(x) ln(x) − dx  x  ⌡ => I =

=

=

ln( x )2 - I

=>

I + I = ln( x )2

=>

2 I = ln( x )2

1 2

ln( x )2 + K

-------------------------------------------

6)

⌠ I = x ln( x )2 dx ; ⌡ Suloção considerando u = ln( x )2 dv = x dx => => du = 2 ln( x ) v = x2 1 x dx

2substituindo em I , temos;

x2 ⌠ ⌠ ⌠ I = u dv = u v − v du = ln( x )2 −x ln( x ) dx ⌡ ⌡ ⌡ 2
Page 4

considerando w = ln(x) dz = x dx

=> dw = => z = x2

1 x

dx

2 substituindo nesta última integral de I , temos: I = x2 ⌠ ln( x )2 −w dz = ⌡ 2 x2 ⌠ ln( x )2 - ( w z − z dw ) = ⌡ 2 x2 2 ln( x )2 − x2 2 ln(x) +

⌠ 2 x   2 x dx =  ⌡ x2 x2 1⌠ 2 = ln( x ) − ln(x) + x dx = 2 2 2⌡------------------------------------------

x2 2

ln( x ) −

2

x2 2

ln(x) +

x2 4

+ K

7)

⌠ I = x3 cos( x2 ) dx ; ⌡

Solução ⌠ 2 2 I = x cos( x ) x dx  ⌡ considerando u = x2 => du = 2 x dx => 1 2 du = x dx

substituindo em I , temos: I = 1⌠ u cos( u ) du 2⌡ => dw = du

considerando w = u

dz = cos(u) du z = sen(u) substituindo nesta última I , temos: I = 1⌠ 1 1 1 ⌠⌠ w dz = ( w z − z dw ) = ( u sen( u ) − sen( u ) du ) = ( u sen(u) + ⌡ ⌡ 2⌡ 2 2 2
Page 5

cos(u) ) + k substituindo u nesta última I , temos: I = 1 2 ( x2 sen( x2 ) + cos( x2 ) ) + K = 1 2 x2 sen( x2 ) + 1 2 cos( x2 ) + K

-----------------------------------------

8)

⌠ I = e( −x ) cos( 2 x ) dx ; ⌡ Solução du = −e( −x ) dx => −du = e( −x ) dx 1 dv = cos(2x) dx => v = sen(2x) 2...
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