Guerra de canudos

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| MATERIAL PARA O 1º BIMESTRE - MATEMÁTICA | |
| 3º ANO DO ENSINO MÉDIO | |
DOCENTE: IVE PINA | |
CONTEÚDO: ANÁLISE COMBINATÓRIA | |

A Análise Combinatória é a área da Matemática que trata dos problemas de contagem. Estes foram iniciados no século XVI pelo matemático italiano Niccolo Fontana, conhecido como Tartaglia.

Para que serve?

Que chances uma pessoa tem de acertar naquina da loto?
Foi a necessidade de calcular as possibilidades existentes nos chamados jogos de azar que levou o desenvolvimento da Análise Combinatória.

Problemas que envolvem contagem

O princípio fundamental da contagem permite-nos a contagem sem descrição das possibilidades. Quando o número de possibilidade é pequeno, podemos usar o processo chamado de árvore de possibilidades.Exemplos:

1) Para a eleição da Associação de Pais e Mestres da escola, há três candidatos a presidente e dois a vice-presidente.

Candidatos a presidente

Candidatos a vice-presidente

Sendo as eleições de presidente e vice-presidente independentes, quais os possíveis resultados dessa eleição?

Vamos fazer um esquema para representar os possíveis resultados:

A esse esquema damos o nome deárvore de possibilidades. Ela facilita o estudo e a sistematização da contagem dos possíveis agrupamentos.

2) Uma moeda tem duas faces: cara (k) e coroa (c). Lança-se uma moeda 3 vezes seguidas e observa-se qual a face ficou voltada para cima. Quantos são os resultados possíveis?

São possíveis 8 resultados. Por exemplo, KKK significa cara no 1º, no 2º e no 3º lançamento, CKC significa coroano 1º, cara no 2º e coroa no 3º lançamento.

3) Quantos e quais são os números de três algarismos que podemos formar usando os algarismos 2, 5, 7?

Podemos formar 27 números de 3 algarismos, que são: 222, 225, 227, 252, 255, 257, 272, 275, 277, 522, 525, 527, 552, 555, 557, 572, 575, 577, 722, 725, 727, 752, 755, 757, 772, 775, 777.

4) Quantos e quais são os números de três algarismosdistintos que podemos formar usando os algarismos 2, 5, 7?

Podemos formar 6 números de 3 algarismos distintos, que são: 257, 275, 527, 572, 725, 752.

5) Quantos e quais são os números de três algarismos que podemos formar usando os algarismos 0, 5, 7?

Podemos formar 18 números de 3 algarismos, que são: 500, 505, 507, 550, 555, 557, 570, 575, 577, 700, 705, 707, 750, 755, 757, 770, 775, 777.6) Quantos e quais são os números de três algarismos distintos que podemos formar usando os algarismos 0, 5, 7?

Podemos formar 4 números de 3 algarismos, que são: 507, 570, 705, 750.

Exercícios

1) Pedro tem 5 camisas (branca, amarela, verde, azul e vermelha) e 3 calças (preta, cinza e marrom). De quantas maneiras diferentes ele poderá se vestir, usando uma calça e uma camisa?2) Lança-se uma moeda 4 vezes consecutivas. Quantas sequências de resultados são possíveis?

3) Considere os algarismos 0, 1, 3, 5.
a) Quantos números de três algarismos distintos são possíveis formar com esses algarismos?
b) Quantos números de três algarismos são possíveis formar com esses algarismos?

Princípio Multiplicativo

Existem maneiras de resolver os problemas acima sem anecessidade de criar árvores de possibilidades. Considere os exemplos:

1) André tem 2 bermudas (preta e cinza) e 4 camisetas (branca, verde, amarela e roxa). De quantas maneiras diferentes ele poderá se vestir usando uma bermuda e uma camiseta?

Observe que há duas possibilidades de escolher uma bermuda e 4 possibilidades para escolher uma camiseta. Logo, o número total de maneirasdiferentes que André tem para se vestir é 2 . 4 = 8.

2) Os números de telefones de uma cidade tem 8 algarismos. Determine a quantidade máxima de telefones a serem instalados, sabendo que os números não devem começar com zero.

Como o número do telefone tem 8 algarismos, ele apresenta a seguinte forma:
P1 P2 P3 P4 – P5 P6 P7 P8
9 10 10 10 10 10 10 10
10 possibilidades para P2 a P8 porque...
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