Geometria

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80

m

C

2,

Observe a figura ao lado.
Uma escada com seis degraus está apoiada, em C, num
muro de 2 m de altura.
A distância entre dois degraus vizinhos é 40 cm. Logo, o
comprimento da escada é 2,80 m.
A distância da base da escada (B) à base do muro (A)
é 1,96 m.
ˆ
Assim, o triângulo ABC formado é retângulo em A em
que AB e AC são os catetos e BC é a hipotenusa.
Ao meio-dia,com o Sol a pino, um pedreiro sobe a escada,
degrau por degrau. A sombra de seu pé no chão também
vai mudar de posição.
Vamos ver como este exemplo simples nos permite tirar
conclusões importantes em matemática.

2m

B

A
1,96 m

Relações em triângulos retângulos semelhantes
C

A figura ao lado mostra de maneira simplificada:

C6

• as posições do pé do pedreiro: C1, C2, C3,C4, C5 e C6;
• as posições da sombra do pé no chão: A1, A2, A3, A4, A5 e A6.

C5
C4

Os triângulos BA1C1, BA2C2, BA3C3, etc. são todos semelhantes
entre si. Observe a razão:
C2

altura do pé

A3C3
A2C2
A1C1
2,00
AC
=
= ... =
=
= 0,71429
=
BC3
BC
2,80
BC1
BC2
distância percorrida

C3



sombra

C1
B A1 A2 A3 A4 A5 A6

A

Podemos observar que a altura do pé dopedreiro em relação ao chão é diretamente proporcional à
distância que ele percorreu na escada.
Temos também a razão:
distância da sombra à base da escada
distância percorrida

BA3
BA1
BA2
1,96
BA
=
= ... =
=
= 0,70000
=
BC3
BC
2,80
BC1
BC2

Da mesma forma, a distância da sombra do pé do pedreiro à base da escada é diretamente proporcional
à distância que ele percorreu naescada.
Temos ainda:
altura do pé
distância da sombra à base da escada

AC
A2C2
A1C1
2,00
AC
=
=
= 1,02041
= 3 3 = ... =
BA3
1,96
BA1
BA2
BA

A altura do pé do pedreiro em relação ao chão é diretamente proporcional à distância da sombra do
seu pé à base da escada.
146

Capítulo 23_p146a155.indd 146

30/07/10 11:00

ˆ
Acabamos de ver que, fixado o ângulo (B ) que aescada faz com o chão, as razões:
ˆ
ˆ
ˆ
cateto oposto a B cateto adjacente a B
,
e cateto oposto a B
hipotenusa
ˆ
hipotenusa
cateto adjacente a B
não dependem do tamanho do triângulo considerado. Em qualquer dos triângulos, BA1C1, BA2C2, BA3C3,
etc., essas razões valem, respectivamente: 0,71429; 0,70000; 1,02041.
ˆ
Esses números estão diretamente ligados à medida do ângulo B.
Secolocarmos a escada numa outra posição, como mostra a figura abaixo, formando com o chão um
ˆ
outro ângulo, B ', encontraremos as seguintes razões:
ˆ
cateto oposto a B '
2,00
=
= 0,83333
hipotenusa
2,40

C

2,4

0m

ˆ
1,33
cateto adjacente a B '
= 0,55417
=
2,40
hipotenusa
ˆ
cateto oposto a B '
2,00
=
= 1,50376
ˆ
1,33
cateto adjacente a B '
ˆ
Para cada ângulo agudo B,essas três razões, que só dependem da
ˆ
medida do ângulo B, vão agora receber um nome.

2m

A

B
1,33 m

Razões trigonométricas
ˆ
Sendo dado um ângulo agudo B, vamos construir um triângulo ABC retângulo em A e
ˆ como um de seus ângulos.
que tenha B

C

• Chama-se seno de um ângulo agudo a razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa:
b
ˆ
sen B =
a

a

b

ˆ
ˆ(sen B leia “seno de B ”)
B

c

A

• Chama-se cosseno de um ângulo agudo a razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa:
c
ˆ
cos B =
a

ˆ
ˆ
(cos B leia “cosseno de B ”)

• Chama-se tangente de um ângulo agudo a razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente
ao ângulo:
b
ˆ
ˆ
ˆ
tg B =
(tg B leia “tangente de B ”)
c
O seno, o cosseno e a tangente de umângulo são chamados razões trigonométricas desse ângulo.
Veja alguns exemplos:
• Considerando o exemplo inicial com o triângulo formado pela
escada, pelo muro e pelo chão, temos:
m
80
2,

b
2,00
ˆ
sen B =
=
= 0,71429
a
2,80
c
1,96
ˆ
cos B =
=
= 0,70000
a
2,80
b
2,00
ˆ
tg B =
=
= 1,02041
c
1,96

C

B

2m

A
1,96 m

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Capítulo 23_p146a155.indd 147...
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