Geometria fractal

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Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Ribeirão Preto – USP DFM - Curso de Física Médica – Física Experimental - Mecânica
Experiência IV: GEOMETRIA FRACTAL (texto baseado na Apostila Física Experimental 1, IFUSP).

1. Objetivos O objetivo desta experiência consiste em explorar um caso extremo da situação, bastante freqüente, em que o próprio objeto da medida é irregular, mostrandoconseqüências deste fato sobre a ação de medir. Pretende-se, ainda, introduzir um tópico bastante atual da ciência, que são as dimensões não inteiras, ou seja, as dimensões fractais.

2. Introdução A natureza parece gostar de produzir formas com muitos graus de fragmentação, tanto no nível macroscópico quanto no microscópico. Quantificar comprimentos, áreas e volumes de formas fragmentadasapresenta muitos problemas quando se utiliza a geometria euclideana. Verifica-se que medidas de distâncias em formas fragmentadas dependem da escala que se usa. Pode-se, por exemplo, medir a costa litorânea brasileira por três métodos: através de uma foto satélite, através de fotos aéreas ou simplesmente caminhando-se pelas praias. Os resultados das três medições serão bem diferentes, pois quanto menora escala, mais sensível a medida é aos contornos e, portanto, fornecerá um valor maior. Na década de 60 encontravam-se enciclopédias com valores de distâncias de fronteiras entre países muito discrepantes. Um livro português dizia que sua fronteira com a Espanha tinha 1214 km, enquanto um livro espanhol fornecia 987 km para a mesma fronteira. O mesmo ocorria entre Holanda e Bélgica (380 km contra449 km). Essas diferenças, da ordem de 20%, são justificadas quando se supõe que os países utilizaram escalas distintas nas medidas de suas fronteiras. Fatos como este chamaram a atenção de matemáticos que verificaram o insucesso da geometria euclideana quando aplicada a certos casos. Foi desenvolvida, então, a geometria de fractais, que se aplica a grandezas fragmentadas e envolve o conceito dedimensões não-inteiras. A dimensão fractal D quantifica o grau de fragmentação. No experimento a ser realizado, será verificada a aplicabilidade da geometria fractal para o caso em que uma folha de papel (um corpo onde predominam duas dimensões) é transformada numa bola de papel (um corpo tridimensional) depois de ser amassada. O ato de amassar o papel implica na fragmentação de uma área em áreasmenores. O experimento envolve a medição de uma grandeza (diâmetro φ das esferas de papel) e a verificação da dependência deste com a massa M da bola. Verificar-se-á que, ao contrário da expectativa baseada na vida cotidiana, a massa não varia com o cubo da dimensão linear, como ocorre com esferas maciças; de fato, o expoente da relação M = kφ D tem dimensão não inteira e será associado com adimensão fractal.

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2.1. Dimensões fractais Bons exemplos para um primeiro contato com a geometria fractal são as figuras conhecidas como Curvas de Koch. Este exemplo é unidimensional contendo, porém, todos os elementos básicos para a compreensão da geometria fractal. A analogia para o modelo bidimensional, que será estudado nesse experimento, é direta. A curva conhecida como triádica de Kochestá mostrada na Figura 2.1. A construção desta curva parte de um segmento unitário (geração 0). Introduz-se um joelho triangular neste segmento, resultando em quatro segmentos de comprimento 1/3 cada (geração 1). O comprimento total da curva fragmentada é (4/3)1. Repetindo-se o processo em cada um dos quatro segmentos (geração 2), o comprimento total da curva obtida é (4/3)2. Após n aplicações domesmo processo, a curva obtida tem comprimento (4/3)n. A dimensão fractal é definida como
D= ln y ln x (IV.1)

onde, no caso unidimensional, x é o número de segmentos em que o segmento unitário original foi subdividido e y é o número de segmentos utilizados para construir a figura fragmentada. Portanto, no exemplo da triádica de Kock D= ln 4 = 1,2618 ln 3 (IV.2)

Na figura 2.1 mostram-se...
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