Geometria fractal

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO Universidade Federal de Alfenas. UNIFAL-MG Campus de Poços de Caldas

Curso de Bacharelado Interdisciplinar em Ciência e Tecnologia

RELATÓRIO BASES EXPERIMENTAIS DAS CIÊNCIAS NATURAIS

Geometria Fractal
GUSTAVO LACERDA PRADO (Turma D) MARCOS VINICIUS DOS SANTOS(Turma E) OTÁVIO AUGUSTO ENEAS CÂNDIDO PINHEIRO (Turma E) PETERSON TADEU DA SILVA (Turma E) THAMYRISPEREIRA MENDONÇA (Turma E)

Professor Msc. Luís Antônio Fonseca Teixeira Poços de Caldas-MG 20 de setembro de 2012

Introdução:
A geometria fractal é o ramo da matemática que estuda as propriedades e o comportamento dos fractais, descrevendo muitas situações que não podem ser explicadas facilmente pela geometria clássica, e foram aplicadas em ciência, tecnologia e arte gerada por computador.Segundo o velho Euclides, matemático grego, existem figuras que não têm dimensão, como o ponto final. Uma linha, por sua vez - considerada a distância entre dois pontos quaisquer -, é algo com uma única dimensão. Os objetivos da prática estão estritamente ligados a um sentido de entender que na ciência dos fractais (Figura 1), o todo é uma formação de partes mais fundamentais. Identificando aaplicabilidade da geometria fractal através da transformação de folhas de papel de diferentes tamanhos em bolas de diâmetros (esferas imperfeitas) após serem amassadas. A ação de amassar o papel implica na fragmentação de uma área em áreas menores lidando com medidas proporcionais tanto em massa quanto em tamanho. Neste experimento, é verificada a aplicabilidade da geometria fractal para o caso em queforam utilizadas folhas de papel sulfite e um paquímetro. Uma folha foi amassada por inteiro, sem a formação de camadas, sendo que a segunda folha foi cortada ao meio, com uma metade amassada. A outra metade também foi cortada ao meio, e assim sucessivamente, até a formação de dez bolinhas na totalidade.

Figura 1- fractal

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Materiais e Métodos:
Para realiza o experimento foinecessário o uso de:  2 folhas de papel sulfite (figura 2);  2 paquímetros (figura 3);  1 balança digital (figura 4).

Figura 2

Figura 3

Figura 4

Com uma das folhas de papel, foram feitas nove divisões com fator igual a dois, assim cada pedaço de papel equivalia à metade do anterior. Foram obtidos 10 pedaços de papel mais uma folha inteira. Após ter cortado as folhas, um integrante do grupoamassou as folhas de maneira que elas não ficassem sobrepostas, formando assim uma bola. As bolinhas foram numeradas de 1 a 10 e medidas por todos os integrantes do grupo em três posições diferentes, totalizando assim 15 medições. Depois foi medida a massa de cada uma e todas as informações foram anotadas.

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Resultados:

Tabela 1- Medidas das bolas de papel.

A análise dosdados é referenciada na relação M = KɸD , escrita para o diâmetro, ɸ = 2r, com K = k/2D, já que as medições são dos diâmetros das bolas. Para a linearização da curva que representa os dados experimentais, usou-se logaritmização, construindo o gráfico no papel di-log(Gráfico 1 e Gráfico 2) . Aplicando as propriedades logarítmicas temos: M = KɸD → log(M) = log(KɸD) = log(K) + log(ɸD) = Dlog(ɸ) + log(K)= ax + b Assim, a equação ficou simplificada, se assemelhando com uma equação reduzida da reta, onde D = a que representa o coeficiente angular e K = b representando o coeficiente linear. Em relação ao coeficiente angular, definimos o seu valor utilizando a seguinte equação: a = (y2 – y1) / (x2 – x1) ou D = log(w2) – log(w1) / log(x2) – log(x1) Devemos escolher dois pontos não experimentais (P1 eP2) da reta traçada no gráfico para calcular o coeficiente angular utilizando a equação acima. Sendo P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2) os pontos não experimentais da reta. Os pontos não experimentais escolhidos foram: P1 = (0,08, -0,5) P2 = (-0,4, -1,6) P3 = (0,5, 0,52)
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Então, substituindo na equação reduzida da reta temos: D = log(w2) – log(w1) / log(x2) – log(x1) D = (-1,6) –...
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