Franco brunneti cap. 3 resolvido

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Capítulo 3
CINEMÁTICA DOS FLUIDOS
Neste capítulo pretende-se, implicitamente, estabelecer a visão euleriana do estudo dos fluidos
em movimento. É interessante lembrar que o estudante, acostumado com a visão lagrangeana
estabelecida pela Mecânica Geral e pela Física, tem muita dificuldade para focalizar o fluido
como um contínuo e observar as suas propriedades em diversos pontos no mesmoinstante.
Insiste-se na idéia do regime permanente, já que a eliminação da variável tempo simplifica o
estudo e a solução dos problemas e, de certa forma, resolve a maioria dos problemas práticos.
Procura-se fixar as idéias de campos de propriedades e de diagramas de velocidades, típicas
do estudo de fluidos. Evita-se propositadamente a denominação “volume de controle”, porém
seu conceito estáutilizado implicitamente quando se trata de tubo de corrente. O
aprofundamento do estudo será feito no Capítulo 10, quando o leitor já tiver uma melhor
compreensão do assunto, com as limitações impostas nos primeiros capítulos.
Exercício 3.1
vm =

1
vdA
A∫
A

Mostrar claramente a facilidade de se utilizar uma coordenada polar quando se trabalha com
seções circulares. Mostrar que a áreaelementar é calculada por 2πrdr.
⎡ ⎛ r ⎞2 ⎤
1R
vm =
∫ v máx ⎢1 − ⎜ R ⎟ ⎥ 2πrdr
⎢ ⎝ ⎠⎥
πR 2 0


R ⎛ R2 − r2 ⎞
2v
⎟rdr
v m = máx ∫ ⎜
2

0 ⎜ R2
R



(

R

)

2 v máx ⎛ R 2 r 2 r 4 ⎞

vm =
R r − r dr =
−⎟
4 ∫0
4⎜2
4⎟
R
R

⎠0
2 v máx ⎛ R 4 R 4 ⎞


vm =

4 ⎜2
4⎟
R


v m = 0,5v máx
2v máx R

2

3

Exercício 3.2

vm =

1
vdA
A∫
11

R
7
2v
r ⎞7

∫0 v máx ⎜1 − R ⎟ 2πrdr = máx ∫0 (R − r ) rdr
15


R7
Mudança de var iável : x = R − r; r = R − x; dr = −dx

1
vm =
πR 2

R

2v máx

vm =

15
R7

1
x7

∫R (R − x )(− dx ) =
0

2v máx
15
R7

R⎛

∫0

1
8⎞
⎜ Rx 7 − x 7 ⎟dx





R

2v máx

vm =

15
R7

8
15 ⎞

⎜ 7Rx 7 7 x 7 ⎟
2v

⎟ = máx

15
15 ⎟
⎜8
R7
⎠0⎝

⎛ 7 15 7 15 ⎞ 49
⎜ R 7 − R 7 ⎟=
v
⎜8
⎟ 60 máx
15



Exercício 3.3
Qm
gQ m
10 × 5
= 20 m / s
=
=
ρ A A A γ A A A 5 × 0,5 ×1
gQ m
10 × 5
v mB =
=
= 10 m / s
γ B A B 10 × 0,5 ×1

v mA =

Exercício 3.4
V
6
m3
=
= 10 −3
t 100 × 60
s
kg
Q m = ρQ = 1.000 × 10 −3 = 1
s
N
Q G = gQ m = 10 × 1 = 10
s
Q=

Exercício 3.5
Q = v1A1 = 1 × 10 × 10 −4 = 10 −3
Q m =ρQ = 1.000 × 10 −3 = 1

L
m3
=1
s
s

kg
s

Q G = γQ = ρgQ = gQ m = 10 × 1 = 10
v2 =

Q
10 −3
m
=
=2
A 2 5 × 10 −4
s

Exercício 3.6

Q m = ρ1 v1 A 1 = 1,2 × 10 × 200 × 10 − 4 = 2,4 × 10 − 2
Q1 =

Q m 2,4 × 10 − 2
m3
=
= 2 × 10 − 2
1,2
s
ρ1

Q2 =

Q m 2,4 × 10 − 2
m3
=
= 2,67 × 10 − 2
0,9
ρ2
s

kg
s

N
s

Q G = gQ m = 10 × 2,4 × 10 − 2 = 0,24

Ns

Q 2 2,67 × 10 − 2
m
v2 =
=
= 267
−4
A2
s
10 × 10

Exercício 3.7
Supondo o regime permanente, já que o enunciado não dá nenhuma indicação de variação
com o tempo, pode-se utilizar a Equação da Continuidade correspondente.
ρ1Q1 + ρ 2 Q 2 = ρ 3 Q 3
ρ Q + ρ2Q2
ρ3 = 1 1
Q3
Sendo os fluidos incompressíveis e o reservatório rígido, pode-se utilizar também a equação
para fluidoincompressível.
Q 3 = Q1 + Q 2
ρ3 =

1.000 × 20 + 800 × 10
= 933 kg / m 3
30

v3 =

Q 3 30 × 10 −3
= 10 m / s
=
A 3 30 × 10 −4

Exercício 3.8
v=

Q
10 × 10 −3
m
=
= 4 × 10 − 4
A tan
5×5
s

t=

V hA tan 0,2 × 5 × 5
=
=
= 500s
Q
Q
10 × 10 −3

Exercício 3.9
V1 V2 5 3 10 3
m3
+
=
+
= 3,25
Q=
t1
t 2 100 500
s
4Q
4 × 3,25
m
=
= 4,14
v=
2
2
s
πD
π×1

Exercício 3.10
2
2
πD3
πD1
πD 2
2
= v2
+ v3
4
4
4
2
2
v D −v D
v3 = 1 1 2 2 2
D3

v1

v1 =

v máx1
2

=

0,02
m
= 0,01
2
s

49
49
m
v máx 3 =
× 0,13 = 0,106
60
60
s
2
2
0,01 × 15 − 0,106 × 2,5
m
v2 =
= 0,064
2
s
5
v2 =

Exercício 3.11
Seja: Qe = vazão de entrada
QF = vazão filtrada
QNF = vazão não filtrada

Q e = Q F + Q NF
Q NF = ∫...
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