Fracoes Parciais

Frações Parciais
Como Suporte Para
Desenvolvimento e Habilidade

1ª Aula
(revisada)
2º Bimestre

José Fernando Santiago Prates
UNIFRAN
2013

Desenvolvimento e Hab.
FRAÇÕES PARCIAIS
O método das Frações Parciais é usado para decompor funções racionais em formas mais simples.
Uma função racional função racional f(x) =

P(x) é um quociente de polinômios.
Q( x )

A fração é própria (isto é, o grau do numerador é menor que o grau do denominador)
Caso não seja, basta efetuar a divisão e trabalhar com quociente e resto da divisão. Ou seja, se grau(P(x)) ≥ grau(Q(x)) então temos;
P(x) = Q(x)A(x) + R(x),
Que resulta em:
P(x)
Q(x).A(x)  R(x)
R(x)

 A(x) 
Q(x)
Q(x)
Q(x)
P(x)
R(x)
 A(x) 
Q(x)
Q(x)

IGUALDADE DE POLINÔMIOS
Dois polinômios são considerados iguais se e somente se seus coeficientes correspondentes forem iguais. Por exemplo, considere os polinômios P(x) e Q(x);
P(x) = a5x5 + a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0. Dizemos que P(x) é igual ao polinômio Q(x) = b5x5 + b4x4 + b3x3 + b2x2 + b1x + b0, se e somente se a5 = b5, a4 = b4, a3 = b3, a2 = b2, a1 = b1 e a0 = b0.
Exemplo:

- 7x4

+ a0


4x5

+ a1x




Q(x) =

+ a2x2


+ a3x3



a5x5



+ a4x4



P(x) =

+8x2

+ 15x

+ 100

a5 = 4, a4 = -7, a3 = 0, a2 = 8, a1 = 15 e a0 = 100.

José Fernando Santiago Prates

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Desenvolvimento e Hab.
DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES FARCIAIS
A de composição é baseada em função do resultado da fatoração do denominador, que será analisada em 4 casos abaixo.
Os casos a serem analisados são:
1º Caso:

Denominador é composto por produto de fatores lineares irredutíveis não repetidos.
Q(x) = (a1x+b1)(a2x+b2) (a3x+b3).....(anx+bn)

Ilustração:

1
2

2º Caso:

A4
A
A5
A1
A
P(x)
 2  3 

= x 2 x 2 x 3 x 5 x 7
Q( x )
A4
A3
A1
A2
P(x)



=
Q(x) 2x  1 2x  1 2x  3 3x  3

Denominador é composto por produto de fatores lineares irredutíveis não repetidos