laplace

Ensino Superior

Introdução aos Sistemas Dinâmicos
3.1 – Transformada Inversa de Laplace

Amintas Paiva Afonso

Definição
Transformada de Laplace:
∞

− st

L [ f (t )] = F ( s ) = ∫ f (t ).e dt
0

Transformada Inversa de Laplace: c + j∞

1
[ F ( s )] = f (t ) =
. ∫ F ( s ).e st ds
L
2.π . j c − j∞
−1

p/ t > 0

Transformada Inversa de Laplace

- Normalmente, não se utiliza a integral de inversão de Laplace, mas simplesmente a consulta a tabelas existentes.
- Devemos adequar a função F(s) para a consulta à tabela. Para tanto, utilizamos o Método de
Expansão em Frações Parciais.

Transformada Inversa de Laplace
- Método de Expansão em Frações Parciais:
Devemos escrever a função F(s) como uma função de dois polinômios em s: F(s) = B(s)
A(s)
Devemos também fazer com que a maior potência de s em B(s) seja menor que a maior potência de s em A(s). Caso contrário, devemos dividir B(s) por
B1(s)
A(s) até conseguir:
F(s) = C(s) +
A(s)

Transformada Inversa de Laplace
- Finalmente, reescrevemos a função F(s) como uma soma de termos menores:

F ( s ) = F1 ( s ) + F2 ( s ) + ... + Fn ( s )
Cuja transformada inversa será: f (t ) = f1 (t ) + f 2 (t ) + ... + f n (t )
Temos duas situações para F(s). Ela pode ter pólos distintos ou pólos múltiplos de ordem n. Vamos ver como resolver F(s) em cada caso.

Transformada Inversa de Laplace
- Expansão em frações parciais quando F(s) envolve pólos distintos:
B(s) k.(s + z1 ).(s + z2 )....(s + zm )
F (s) =
=
A(s) (s + p1 ).(s + p2 )....(s + pn )
Para m < n e k se refere ao ganho da função.
Devemos reescrever F(s) como:
B(s)
a1 a2 an
F (s) =
=
+
+ ....+
A(s) (s + p1 ) (s + p2 )
(s + pn )
Onde as constantes a1, a2, ..., an são chamadas de resíduos de cada pólo.

Transformada Inversa de Laplace
- Para determinar o valor de cada resíduo, fazemos: 
B(s)  ak = ( s + pk ).

A( s )  s = − pk

- Exemplo: Determine a Transformada Inversa de