Fourier

UMA ILUSTRAÇÃO DAS SÉRIES DE FOURIER

A função f(x) = x2 pode ser representada na forma de uma série de Fourier no intervalo (-Pi,Pi) através de

Vamos ver o quanto fidedigna é essa representação. A primeira soma parcial da série é

Na figura abaixo comparamos a função original f(x) = x2 com a primeira soma parcial da sua série de Fourier.

A segunda soma parcial da série é

Vamos agora comparar a função original com a primeira e segunda somas parciais.

A terceira soma parcial é

Incluindo essa soma parcial na comparação temos

Como podemos ver, bastam poucos termos da série de Fourier para termos uma boa representação da função f(x) = x2 no intervalo (-Pi,Pi). Fora desse intervalo a série de Fourier não representa a função f(x) = x2 mas a extensão periódica dessa função quando restrita ao intervalo (-Pi,Pi).

Vamos agora considerar uma função descontínua, por exemplo sign(x) = |x|/x, que vale +1 para x > 0 e -1 para x < 0. A sua representação em série de Fourier no intervalo (-Pi,Pi) é dada por

Como no caso anterior, vamos comparar os gráficos da função e das somas parciais da série de Fourier. A primeira soma parcial é

e seu gráfico junto com o da função sign(x) é

Para a segunda soma parcial temos

Comparando o gráfico com os anteriores temos

A terceira soma parcial é

e incluindo seu gráfico na comparação temos

A quarta soma parcial é

Com mais esse gráfico temos

Nesse exemplo, para representar com certa fidedignidade a função sign(x) por uma série de Fourier, precisamos levar em conta mais termos da série de Fourier do que no exemplo anterior. Para a décima soma parcial da série de Fourier, o gráfico comparando-a com a função original é

e para a vigésima soma parcial,

Como no caso anterior, temos uma representação da função sign(x) no intervalo (-Pi,Pi), enquanto em toda reta temos uma representação da extensão periódica da função restrita ao intervalo considerado.