Fourier

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Matem´tica Aplicada a .

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Arlei Fonseca Barcelos

S´ries e integrais de Fourier e

AEDB

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22 de abril de 2008

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Arlei Fonseca Barcelos

1.1

An´lise de um sinal senoidal no tempo a

A figura 1.1 mostra uma onda senoidal, podemos extrair conceitos importantes deste gr´fico, que a dever˜o ser muitos utilizados durante o cursode Telecomunica¸˜es. a co

Figura 1.1: Sinal senoidal no tempo • Ciclo - uma oscila¸˜o completa; ca • Per´ ıodo(segundos) - tempo que dura um ciclo; • Frequˆncia(Hertz) - o n´mero de ciclos em um segundo, ou seja, inverso do per´ e u ıodo(1/T); • Fase (radianos) - defasagem do sinal; • Amplitude(Volts) - valor m´ximo da forma de onda. a Para o caso da forma de onda acima temos: Ciclo = 2Per\’{\i}odo = 0,5s Frequ\^{e}ncia= 2 Hz

Amplitude= 2

Lembrando que a express˜o genˆrica de um onda senoidal ´: a e e V (t) = Vp sin(2.π.f.t + ϕ)V olts Onde temos: • Vp =⇒ Amplitude do sinal; • f =⇒ Frequˆncia do sinal; e • ϕ =⇒ Fase do sinal; • t =⇒ Instante de tempo. (1.1)

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Para a formade onda acima termos a seguinte express˜o: a V (t) = 2 sin(4.π.f.t)V olts (1.2)

Exerc´ ıcio 1.1 : 1. Determine a forma de onda da express˜o: e(t) = 9 sin(37, 7.106 .t − π/3) a 2. Determine a express˜o da forma de onda: a

1.2

An´lise de um sinal senoidal na frequˆncia a e

Agora suponhamos sinal da figura 1.1 representado no eixo da frequˆncias, ficar´ e ıamos com a seguinte forma deonda.

Figura 1.2: Espectro de amplitude e fase do sinal na frequˆncia e

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4 Exerc´cios ı

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1. Dada a express˜o e(t) = 8. sin(6, 28.104.t)(V ) a Determinar a forma de onda e os espectros de amplitude e fase. 2. Dado o espectro de fase e amplitude na figura 1.3 Determinar a forma de onda e aexpress˜o de e(t). a

Figura 1.3: Espectro de amplitude e fase do sinal na frequˆncia e 3. Dado a forma de onda na figura 1.4 Determinar o espectro de fase e amplitude e a express˜o e(t). a

Figura 1.4: Forma de onda

1.2.1

Soma de sen´ides o

Sejam dois sinais senoidais gerais x1 = A1 sin(ω1 t + θ1 ) e x2 = A2 sin(ω2 t + θ2 ) A soma x(t) = x1 (t) + x2 (t) ser´ peri´dica a o AEDBMatem´tica Aplicada a 22 de abril de 2008

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Fato 1.1 Se somente se existir um ω ∈ R tal que

ω1 = n1 ω0 ω2 = n2 ω0 . . . ωk = nk ω0

onde os n1 , n2 , . . . , nk s˜o inteiros a

´ E poss´ ıvel, assim, ver que uma soma de sen´ides ser´ um sinal peri´dico quando suas frequˆncias o a o e forem m´ltiplas inteiras de uma frequˆncia b´sica ω0 .Frequˆncias com esta propriedade s˜o chamadas u e a e a de harmˆnicas, e assim pode ser dizer que a soma de sen´ides com frequˆncias harmˆnicas ´ um sinal o o e o e peri´dico. o

Exemplo 1.1 Seguem abaixo os gr´fico de x1 = sin t, x2 = sin t + (1/3) sin(3t) e x3 (t) = sin(t) + a (1/3) sin(3t) + (1/5) sin(5t)

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1.3

Teorema de Fourier

Este teorema diz que: ”Qualquer forma de onda peri´dica no tempo pode ser representada na forma o de somas de senos e cossenos”. Um exemplo deste teorema ´ mostrado abaixo temos uma forma de onda aparentemente estranha, e por´m ela ´ asoma de duas sen´ides, onde suas frequˆncias s˜o duplicadas. e e o e a A equa¸˜o geral da s´rie de Fourier de sinais peri´dicos ´ dado por: ca e o e


f (t) = a0 +
n=1

(an . cos(n.ωo .t) + bn sin(n.ωo .t))

(1.3)

onde:

• f (t) ´ a fun¸˜o a ser desenvolvida. e ca • ao ´ o valor m´dio de f(t). e e • an e bn s˜o os coeficientes da s´rie de fourier. a e • ωo ´ a frequˆncia angular...
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