Formulas e teoremas de euler

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Fórmulas e Teoremas:
As funções e fórmulas de Euler são muito comuns na matemática. Duas das mais famosas são:
e^(ix) = cos(x) + i sin(x) (quando x = ¼ nós temos ei¼ - 1 = 0 ), e
V - A + F = 2para qualquer poliedro simples com Vértices, A arestas e F face.

A fórmula de Euler, cujo nome é uma homenagem a Leonhard Euler, é uma fórmula matemática da área específica da análise complexa,que mostra uma relação profunda entre as funções trigonométricas e a função exponencial. (A identidade de Euler é um caso especial da fórmula de Euler). A fórmula é dada por:
,
em que :
x é umnúmero real;
e é a base do logaritmo natural;
i é a unidade imaginária;
sen e cos são funções trigonométricas.
A relação entre exponencial complexa e funções trigonométricas foi primeiro provadapelo matemático inglês Roger Cotes em 1714, na forma

em que ln é o logaritmo natural[1]
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA FORMULA DE EULER.


Demonstração:
Para o estudo da fórmula de Eulernecessitamos do conhecimento de expansão em séries de potência. Introduziremos uma grande ferramenta, sem uma análise profunda, que é o seguinte conceito:
A expansão em série de Taylor de uma funçãoanalítica f(x) centrada em a é representada como:

com | x − a | < R , onde

Usando esse conceito de expansão e tomando f(x) = ex em torno de a = 0, teremos:

para todo x com intervalo de convergênciade
Em x = 1, na equação acima, obtem-se a expressão para o número e, como uma soma de uma série infinita:

Se admitirmos a validade de substituirmos x por ix na equação obteremos:

Aprimeira parte da soma da equação anterior (eix) é a expansão do cos(x) e a segunda é a expansão do sen(x) em série de Maclaurin. Assim teremos a equação que ficou conhecida como fórmula de Euler

que deforma mais generalizada pode ser escrita como:
.


FÓRMULAS E NOTAÇÕES DE EULER.
Os números complexos podem ainda ser apresentados em uma outra forma bastante útil, decorrente da fórmula de...
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