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y'-3y+4 = e3t

Matemática
Essencial | Ensino Superior |
| Transformadas de Laplace |
* Introdução às Transf. de Laplace * Transformada de Laplace * Funções seccionalm. contínuas * Função de ordem exponencial * Existência da Transf. de Laplace * Prop.lineares: Transf. de Laplace * Tabela/Propr. Transf. de Laplace * Resolução de uma EDO Linear * Derivadas de Transf.de Laplace | * Convolução de funções * Produto de Transf. de Laplace * Solução de Eq. Integro-diferencial * Decomposição em frações parciais * Solução de Sistemas de EDOL * Solução de Eq. coefic. variáveis * Translações de funções * Transf.de Laplace: função periódica * Função Gama |

Introdução às Transformadas de Laplace
Oliver Heaviside, ao estudar processos simplespara obter soluções de Equações Diferenciais, vislumbrou um método de Cálculo Operacional que nos leva de encontro às Transformadas de Laplace que é um método simples que serve para transformar uma Equação Diferencial com condições iniciais (PVI: Problema com Valores Iniciais) em uma equação algébrica, de modo a obter uma solução deste PVI de uma forma indireta sem o cálculo da solução geral daEquação Diferencial. Como isto é útil em Matemática, Computação Engenharia, Física e outras ciências aplicadas, o método passa a representar algo importante neste contexto. As transformadas de Laplace são muito usadas em diversas situações, porém aqui trataremos de suas aplicações na resolução de Equações Diferenciais Ordinárias Lineares.

Transformada de Laplace
Se f=f(t) é uma função definidapara todo t em [0,) e s é um parâmetro real positivo tal que a integral imprópria
| | |
F(s)= | | e-st f(t) dt |
| 0 | |
converge para algum valor finito de s e para todos os valores maiores do que s, então F(s) é chamada a Transformada de Laplace da função f=f(t).
Observação: A transformada de Laplace depende de s e é representada por uma letra maiúscula F, enquanto que a funçãooriginal que sofreu a transformação depende de t e é representada por uma letra minúscula f. É muito comum usar a letra L e a notação abaixo para representar a transformada de Laplace da função f:
L[f(t)]=F(s)
Exemplos: É fácil demonstrar que:
* L[1] = 1/s se s>0
* L[t] = 1/s2 se s>0
* L[exp(at)] = 1/(s-a) se s>a
* L[sen(kt)] = k/(s2+k2)
* L[cos(kt)] = s/(s2+k2)
Exercícios:Calcular as transformadas de Laplace das funções reais
* f(t) = sh(kt)
* f(t) = ch(kt)
* f(t) = t.exp(-at)
* f(t) = exp(at).cos(bt)
* f(t) = t2
Sugestão: Considerar que para todo z complexo, vale a relação de Euler:
eiz = cos(z) + i sen(z)

Funções seccionalmente contínuas
Uma função f = f(t) é seccionalmente contínua sobre um intervalo real [a,b] fechado e limitado, se elaé contínua no interior de um número finito de subintervalos de [a,b], exceto possivelmente por um conjunto finito de pontos {tj}j=1,...n onde a função f deve ter limites laterais à esquerda e à direita, sendo que a diferença entre esses dois limites laterais em cada ponto tj deve sempre ser finita, isto é, o salto da função f em cada tj deve ser finito.
Exemplo: Função degrau unitário:
u(t)= || 1 se t>0 |
0 se t<0 |
|

Função de ordem exponencial
Uma função f = f(t) é de ordem exponencial em [0,), se existem constantes M>0 e real, tal que para todo t>0 se tem:
|f(t)|< M exp(t)
Exemplos:
* f(t) = t2 é de ordem exponencial pois |f(t)|<2.exp(t).
* f(t) = t2.cos(at) é de ordem exponencial pois |f(t)|<2.exp((1+a)t).
* f(t) = exp(t3/2) não é de ordemexponencial.
* f(t) = tn.exp(at).cos(bt) é de ordem exponencial
* g(t) = tn.exp(at).sen(bt) é de ordem exponencial

Existência da Transformada de Laplace
Se f=f(t) é seccionalmente contínua para todos os intervalos finitos de [0,) e se f=f(t) é de tipo exponencial de ordem a quando t, então a Transformada de Laplace F(s), definida para s>a por:
| | |
F(s)= | | e-st f(t) dt |...
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