Fluxo DC linear v1

Fluxo de Potência linearizado (DC OU CC)
Considerações:
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Método Aproximado;
Calcula somente as potencias ativas do sistema;
Possui solução analítica (não usa método iterativo);
É necessário que as tensões sejam próxima de 1pu;
É necessário que o ângulo de defasamento entre as tensões seja pequeno;
É necessário que a resistência da linha seja muito menor que a sua reatância indutiva. Seja uma LT representada pelo seguinte circuito:

Pode-se calcular a Potência complexa que flui do ponto 1 para o ponto 2.
𝑆1−2 = 𝑣1 𝑥 𝑖 ∗ = 𝑣1 (

𝑣1 − 𝑣2
𝑣1 ∗
+
)
𝑅 + 𝑗𝑋𝑙
−𝑗𝑋𝑐

Se a reatância capacitiva tende para infinito e se a resistência for muito menor que a reatância indutiva, ou seja:
𝑋𝑐 → ∞

𝑒

𝑅 ≪ 𝑋𝑙

Podemos aproximar a expressão da seguinte forma:

𝑆1−2 = 𝑣1 𝑥 𝑖 ∗ = 𝑣1 (

𝑣1 − 𝑣2 ∗
)
𝑗𝑋𝑙

Aplicando o conjugado e fazendo o produto de 𝑣1 com a expressão temos:

𝑆1−2 = 𝑣1 𝑥 𝑖 ∗ =

|𝑣1|2 − 𝑣1𝑣2∗
−𝑗𝑋𝑙

Note que aplicamos o conjugado no numerador e no denominador e que o produto de um número complexo pelo seu conjugado, é o módulo desse número complexo elevado a quadrado. Reescrevendo a expressão:
𝑆1−2

|𝑣1|2 𝑣1𝑣2∗
=
−
−𝑗𝑋𝑙
−𝑗𝑋𝑙

Estamos interessados em calcular a potência ativa. Logo, a tomaremos a parte real da potência complexa.

|𝑣1|2 𝑣1𝑣2∗
𝑃1−2 = ℝ𝑒 [𝑆1−2] = ℝ𝑒 [
−
]
−𝑗𝑋𝑙
−𝑗𝑋𝑙

Veja que como estamos tomando apenas a parte real da expressão, podemos já retirar o
|𝑣1|2

termo −𝑗𝑋𝑙, pois o módulo de um número complexo ao quadrado sempre será um número real. E um número real dividido por um número complexo sempre será um número complexo. Portanto:

𝑃1−2

𝑣1𝑣2∗
= ℝ𝑒 [𝑆1−2 ] = ℝ𝑒 [
]
𝑗𝑋𝑙

𝑃1−2 = ℝ𝑒 [𝑆1−2 ] = ℝ𝑒 [

𝑃1−2 = ℝ𝑒 [𝑆1−2 ] = ℝ𝑒 [

|𝑣1||𝑣2|⎿(𝛳1 −𝛳2 )
]
𝑗𝑋𝑙

|𝑣1||𝑣2|𝑐𝑜𝑠(𝛳1 −𝛳2 ) + 𝑗|𝑣1||𝑣2|𝑠𝑒𝑛(𝛳1 −𝛳2 )
]
𝑗𝑋𝑙

Como |𝑣1||𝑣2|𝑐𝑜𝑠(𝛳1 −𝛳2 ) é um número real e um número real dividido por um número complexo puro sempre será um número complexo puro,