Flip-flop

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Cap´ ıtulo 1

Sistemas de Numera¸˜o ca
1.1 Sistemas de numera¸˜o posicionais ca
Sistema decimal Base 10

Estamos t˜o habituados a contar e a executar as opera¸oes b´sicas (adi¸ao, a c˜ a c˜ subtrac¸ao, multiplica¸˜o e divis˜o) usando um sistema decimal, com base b = c˜ ca a = 10, que nem paramos para pensar por um momento nos algoritmos que est˜o a na base dessas opera¸oes. c˜ A utiliza¸aodessa base era inevit´vel, j´ que a humanidade se habituou, desde c˜ a a muito cedo, a contar pelos dedos das m˜os. Ocasionalmente usa outros sistemas a de numera¸ao. Por exemplo, usa o sistema sexagesimal, com base b = 60, c˜ para contar as unidades hor´rias de “minutos” e “segundos”, ou o sistema a duodecimal com base b = 12, ou o sistema de base b = 24, para identificar as “horas” do dia. Todosestes sistemas s˜o posicionais ou ponderados, na medida em que cada a n´mero ´ formado por uma sequˆncia de d´ u e e ıgitos ou algarismos, em que cada d´ ıgito possui um peso caracter´ ıstico da posi¸ao que ocupa na sequˆncia. c˜ e Nada nos impede, contudo, de usar sistemas com bases n˜o naturais, por exema plo com bases inteiras negativas, bases racionais e irracionais, reais, ou at´ bases ecomplexas. E usamos ainda sistemas n˜o posicionais, como ´ o caso do sistema a e de numera¸ao romano, em que n˜o h´ pesos associados aos d´ c˜ a a ıgitos. Neste curso vamos estar interessados apenas nos sistemas posicionais (que designamos, mais simplesmente, por sistemas de numera¸˜o) de base b e, em ca particular, nos sistemas de numera¸ao bin´rio (com b = 2) e hexadecimal (com c˜ a b = 16).Ocasionalmente, refererir-nos-emos a outros sistemas de numera¸ao, c˜ com uma base natural arbitr´ria. a
u Por outro lado, come¸aremos por estudar os n´meros sem sinal, deixando para c a Sec¸˜o 1.4 o estudo dos n´meros com sinal. ca u

Sistema sexagesimal Base 60 Sistema duodecimal Base 12

Sistemas posicionais ou ponderados D´ ıgito ou algarismo Peso Sistemas n˜o a posicionais

Sistema denumera¸ao c˜ de base b

N´meros sem sinal u

Para que cada quantidade num´rica seja expressa por uma e s´ uma sequˆncia e o e de d´ ıgitos, um sistema de numera¸ao de base b arbitr´ria possui b d´ c˜ a ıgitos, sendo que cada um deles deve exprimir, por si s´, um n´mero diferente, menor do que o u b. Assim, um d´ ıgito exprimir´ a ausˆncia de qualquer quantidade, usando-se, a e nesse caso, o s´ ımbolo0 para o representar. Outro d´ ıgito expressar´ a quantidade a 3

4

CAP´ ITULO 1. SISTEMAS DE NUMERACAO ¸˜

unit´ria, e o s´ a ımbolo 1 representar´ esse d´ a ıgito. Os restantes d´ ıgitos exprimir˜o a quantidades de duas, trˆs, quatro, . . . , (b − 1) unidades. e Um n´mero sem sinal escrito num sistema de numera¸ao de base b, que desiu c˜ gnaremos por N(b) , vem representado por umasequˆncia infinita de d´ e ıgitos, N(b) · · · d2 d1 d0, d−1 d−2 · · · , e em que o s´ ımbolo ´ utilizado indistintamente para significar que N(b) “´ e representado pela sequˆncia”, ou que “a sequˆncia representa” N(b) . Nesta e e sequˆncia, cada d´ e ıgito di ´ ponderado por um peso bi associado a sua posi¸ao. e ` c˜ Se agora efectuarmos a soma polinomial
+∞

N(10) =
−∞

di bi = · · · + d2b2 +d1b1 + d0b0 + d−1b−1 + · · ·

Equivalente decimal

na base 10, obtemos o equivalente decimal N(10) de N(b) . A igualdade anterior sugere que um n´mero sem sinal dever´ ser representado u a por uma sequˆncia infinita de d´ e ıgitos. Tal sequˆncia ´, naturalmente, imposs´ e e ıvel de escrever ou de utilizar. Nessas condi¸oes, torna-se finita a sequˆncia procec˜ e dendo as seguintes opera¸oes: (i)truncamento dos d´ ` c˜ ıgitos n˜o significativos a a ` esquerda da representa¸ao, se existirem; (ii) truncamento dos d´ c˜ ıgitos a direita ` da representa¸ao ou, quando tal n˜o for poss´ c˜ a ıvel, arredondamento do d´ ıgito de menor peso. Obtemos, nessas condi¸oes, uma sequˆncia finita, c˜ e N(b) dq−1 dq−2 . . . d1 d0 , d−1 . . . d−p , com precis˜o eventualmente reduzida em rela¸ao a de N(b) ,...
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