Flexao pura

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E – Flexão Pura

Cap. 5.0 – FLEXAO PURA 5.1 – INTRODUÇÃO As peças longas, quando submetidas à flexão, apresentam tensões normais elevadas (por exemplo, para se quebrar um lápis, com as mãos, jamais se cogitaria tracioná-lo, comprimi-lo, torcê-lo ou cisalhá-lo; um momento fletor de pequeno valor seria suficiente para produzir tensões de ruptura no material). Daí a importância do presente estudo.5.2 – MOMENTO FLETOR (M) Recordando estudos de Isostática, quando da análise das relações entre os esforços solicitantes em uma viga sob carregamento transversal q(x), temos que:
q(x) y

Σ Fy = 0 ⇒ Q = q (x) dx + (Q + dQ) dQ/dx = - q(x) ........... (5.2.1)

M x

Q

O

Q+dQ

M+dM

(sendo ξ > 1, tornando o termo ⇑ desprezível em presença das demais) e

Σ Mo=0 ⇒ M+Qdx=q(x)dx.dx/ξ +M+dM

dx

dM/dx = Q ...................... (5.2.2)

Fig. 5.2.1 – Relações entre q(x), Q e M em uma viga

A relação 5.2.2 denota que, quando a força cortante Q é nula ao longo de uma extensão x da viga, o momento fletor M será constante (FLEXÃO PURA). Da mesma forma, nas seções onde o momento fletor é extremo (máximo [+] ou mínimo [-]) a força cortante será nula, sendo aplicável para taiscasos (de especial importância) o estudo da flexão como sendo pura.
2,0 tf 2,0 tf 1,0 tf / m 4,0 tf

2,0 1,5 4,0 m tf + 2,0 Q=0 - 2,0

1,5

1,5

4,0 m

1,5

3,5 m

3,5 m

+ 2,0

+ 2,0 - 2,0 Q=0 - 2,0

2,0 tf Q (tf)

Q=0

+3,0 tf.m +5,0 tf.m +7,0 tf.m
Fig. 5.2.2 – Diagramas de esforços solicitantes (Q e M) de vigas sob carregamento transversal (exemplos)
1

M

E –Flexão Pura

5.3 – TENSÕES NORMAIS NA FLEXÃO RETA (SIMÉTRICA) E ELÁSTICA. No caso comum de vigas com seção transversal simétrica em relação ao plano do carregamento, verifica-se que a distribuição das tensões normais nos diversos pontos da seção só depende da distância y em relação à linha que a divide nas partes tracionada e comprimida (“linha neutra” – LN – Fig. 5.3.1 – a e b). Admitindo que aseção transversal permanece plana após girar em torno da LN em decorrência da deformação das fibras longitudinais, concluiremos que a linha neutra será reta e que as deformações ε variarão linearmente com relação a seu afastamento y em relação à LN (Fig. 5.3 .1– c).

LN

M σ

LN

y

LN

y

(a)

(b)

dA

σ

ε
(c)

Fig.5.3.1 –(a) Flexão de vigas simétricas. (b) tensões normais.(c) deformações – manutenção da seção plana (Obs: o eixo y foi orientado para baixo para se adequar à convenção de sinais do momento fletor - positivo quando traciona as fibras inferiores e comprime as superiores)

Computando a resultante dos momentos, em relação à linha neutra, das forças elementares atuantes nos diversos pontos da seção podemos escrever (Fig. 5.3.1 b):

∫ σ dA.y =M.............................(5.3.1)
Adotando a hipótese da manutenção da seção plana (Fig. 5.3.1 c), e admitindo que o material da viga trabalha na fase elástica podemos escrever sucessivamente: ε = c. y .......... σ = E ε .............. σ = k y .....(distribuição linear das tensões) e

∫ k y dA.y = M ⇒ k = M / ∫ y2 dA ,
sendo ∫ y2 dA = ILN (momento de inércia da área da seção transversal em relaçãoà linha neutra). Portanto:

σ = (M / ILN) y .................. (5.3.2)

σ− σ+

equação estabelecida por Euler, para determinação da tensão normal σ atuante em um ponto qualquer de uma dada seção de uma viga, onde atua um momento fletor M e que
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E – Flexão Pura

tem um momento de inércia ILN em relação à linha neutra, sendo y a distância do ponto citado, em relação à mencionada LN.Resta precisar a posição em que se encontra a linha neutra. Como na flexão pura a força normal é nula, teremos, necessariamente:

∫ σ dA = N = 0 e ∫ ( Μ / ΙLN ) y dA = 0, portanto, ∫ y dA = 0,
ou seja, o momento estático (de 1ª ordem) da área da seção em relação à Linha Neutra sendo nulo, indica que a LN contém o centróide da área. 5.4 – VÁRIAS FORMAS DE SEÇÃO. MÓDULO DE RESISTÊNCIA (W). Para...
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