Flambagem

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Univesidade Santa Cecília Engenharia Mecânica Resistência dos Materiais II

Flambagem por Compressão
Conceito de estabilidade do equilíbrio.
De forma bastante comum ocorre confusão entre o que são equilíbrio e estabilidade. Uma estrutura pode ser instável estando em equilíbrio. Tome, por exemplo, um lápis apontado e tente coloca-lo apoiado em um plano horizontal apoiado pela ponta. Nestasituação, embora ele esteja em equilíbrio, este é muito instável. Quando se apóia o lápis pela base, o equilíbrio é estável. Isto pode ser observado na figura 1
P P

A situação a representa o equilíbrio indiferente. Nela, ao se aplicar a força Q na esfera, que está sobre um plano, representado pela linha horizontal, ocorrerá uma nova posição de equilíbrio, semelhante a esta em outro ponto qualquer do plano.Na situação b, o equilíbrio é instável. A força Q promove um deslocamento na esfera que rola sobre a superfície não existindo mais a possibilidade de retorno a esta posição de equilíbrio. Uma estrutura com este tipo de equilíbrio não suporta perturbações de nenhuma natureza. Na situação c, o equilíbrio é estável. A força Q promove um deslocamento na esfera que rola sobre a superfície oscilando emtorno da posição de equilíbrio inicial.

Carga crítica de barras comprimidas.
Seja uma barra prismática comprimida, em equilíbrio, como a mostrada na figura 3.
Figura 1 – Equilíbrio estável e instável

P

Em geral, o equilíbrio de uma estrutura pode ser classificado como: estável; instável ou indiferente. Um modo bastante simples de observar este fato é analisar as três situações de equilíbrioapresentadas na figura 2.
Q Q Q

Figura 3 – Barra comprimida em equilíbrio

a

b

c

Quando a força tem valores pequenos, a barra permanece reta e o equilíbrio é estável. Quando ocorre um determinado aumento no valor desta força, podem aparecer flechas nas seções da barra levando a barra para um novo equilíbrio estável, como representa a figura 4.

Figura 2 – Situações de equilíbrio Prof. JoséCarlos Morilla

1

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P

A

x

B

A expressão 2 é uma diferencial de segunda ordem cuja solução é:

Figura 4 – Barra comprimida em uma nova posição de equilíbrio

 P   P   x  + C 2 sen v = C1 cos  E×Ι   E × Ι x     (3) onde C1 e C2 são constantes que devem ser determinadas de maneira asatisfazer as condições de deslocamento das extremidades apoiadas; ou seja: para x = 0 ⇒ v = 0 para x = l ⇒ v = 0
Com x = 0 , se tem
0 = C1 cos(0 ) + C 2 sen(0 ) 0 = C1 × 1 + C 2 × 0 C1 = 0

A passagem do primeiro estado de equilíbrio estável para o outro, ocorre quando a força atinge um determinado valor que é chamado de Valor Crítico. Nessa situação a carga é chamada de Carga Crítica e indicadapor Pcrit. Quando a carga está no valor crítico o equilíbrio torna-se instável. Nos dimensionamentos das estruturas é importante que este valor crítico não seja alcançado. Com isto, se garante, além da integridade, a estabilidade da estrutura.

e

(4) a

Determinação da Carga Crítica.
Na figura 4, se observa a ocorrência de flechas nas seções da barra. Torna-se possível, então escrever a equação dalinha elástica para a barra.
d2 v M =− (1) E×Ι dx 2 Para uma seção qualquer, com distância igual a x, a partir do apoio A o momento fletor vale M = P×v que, substituído na expressão 1, resulta:
d2 v P×v =− E×Ι dx d2 v P × v + = 0 (2) E×Ι dx
Prof. José Carlos Morilla

Com este resultado expressão 3 se resume a:
 P   (4) v = C 2 sen  E × Ι x  

Com x = l , tem-se:
 P  0 = C 2 sen × l (5)  E×Ι   

Note-se, aqui, que para satisfazer a equação, independentemente do valor de C2, a função seno deve ser igual a zero. Esta função é nula quando o ângulo for igual a nπ, ou seja:
P × l = nπ (6) E×Ι

onde:

2

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n=0; 1; 2; 3; ........
Assim, tem-se:
P × l = nπ E×Ι

A carga crítica...
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