Fisica

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Física Geral I - F -128 Aula 11 Cinemática e Dinâmica das Rotações
20 semestre, 2010

Movimento de um corpo rígido
Vamos abandonar o modelo de partícula: passamos a levar em conta as dimensões do corpo, introduzindo o conceito de corpo rígido (CR): é aquele em que a distância entre quaisquer dois de seus pontos é constante. Sendo i e j dois pontos quaisquer de um CR: rij = cij

cij :constante característica do par (i, j)
O tipo mais geral de movimento de um CR é uma combinação de uma translação com uma rotação. Neste capítulo consideraremos apenas o caso de rotação de um CR em torno de um eixo fixo, como é o caso do movimento de roldanas, rotores, CDs, etc. Excluiremos, por exemplo, movimentos como o do Sol (não rígido) ou o de uma bola de boliche, cuja rotação se dá em torno deum eixo que não é fixo (rolamento).

Rotação de um corpo rígido
z

Queremos estudar a rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo. O eixo fixo é denominado eixo de rotação. Por conveniência, vamos tomar o eixo de rotação (fixo) como sendo o eixo z. O eixo de rotação não precisa ser um dos eixos de simetria do corpo.
x
y

θ

É conveniente escolher uma linha de referência(arbitrária) presa ao corpo, perpendicular ao eixo z, para definir as variáveis angulares em relação a ela.

Variáveis rotacionais
a) Posição angular
A posição da linha de referência (fixa ao corpo) define o ângulo de rotação θ do corpo rígido em torno do eixo. θ é a posição angular do corpo rígido. O sentido da rotação é dado pela regra da mão direita.
z
positivo negativo

θ

Variáveisrotacionais
• Cada ponto do corpo rígido executa um movimento circular de raio r em torno do eixo. • distância percorrida pelo ponto:
z

s

r

s= r θ (θ em radianos )
θ

y

b) Deslocamento angular
• O deslocamento angular é definido como:
∆ θ =θ 2−θ 1

x

s

z r

Esta variável tem módulo ( ∆ θ ) , ˆ direção e sentido ( z ) a ela associados.
θ1

y
θ2

ˆ Vetor ∆ θ z ?

x∆θ

Variáveis rotacionais
Não podemos associar um vetor a uma rotação, pois vetores devem obedecer às regras da soma vetorial, o que não acontece com as rotações.     Por exemplo, a soma vetorial é comutativa ( A+ B = B + A ), mas duas rotações sucessivas feitas em ordens diferentes dão resultados diferentes! O exemplo ao lado mostra duas rotações sucessivas de π /2 em torno dos eixos x e ynas duas ordens possíveis: o resultado final depende da ordem!

ˆ ˆ ˆ ˆ ∆ θ 1x + ∆ θ 2 y ≠ ∆ θ 2 y + ∆ θ 1x

Então:
ˆ ∆ θ z não é um vetor!

(a menos que os ângulos de rotação sejam infinitesimais).

Variáveis rotacionais
c) Velocidade angular
Deslocamento angular:
∆ θ (t ) = θ (t + ∆ t ) − θ (t )
 ω

ˆ≡ ˆ z n

r

Velocidade angular (escalar) média
ω =
∆θ ∆t

Velocidadeangular instantânea (vetor)
 ∆θ dθ ˆ ˆ ω = lim n= n ∆ t→ 0 ∆ t dt

θ (t )

y
∆ θ (t )

x

θ (t + ∆ t )

A velocidade angular é uma característica do corpo como um todo e não somente de um ponto particular nele situado.

ˆ Deslocamento angular em torno de n : θ (t 2 ) − θ (t1 ) = ∫ ω (t ′ ) dt ′
t1

t2

Exemplo 1
Cálculo da velocidade angular da Terra em torno do seu eixo. ATerra completa uma revolução a cada 23h56min (dia sideral). O módulo da sua velocidade angular é
ω =
2π rad 6, 28 rad rad = = 7, 23 × 10− 5 dia 86160 s s

e a sua direção aponta para o norte ao longo do eixo de rotação, cujo período de precessão é de aproximadamente 26.000 anos (analisaremos a questão da precessão mais tarde).

ω

Variáveis rotacionais
c) Aceleração angular
   ∆ ω = ω(t+ ∆ t ) − ω (t) Variação da velocidade angular   ∆ω α = Aceleração angular média ∆t   ∆ ω dω  α = lim = Aceleração angular instantânea ∆ t→ 0 ∆ t dt  A aceleração angular instantânea é um vetor paralelo a ω quando o eixo de rotação é fixo!
 α Velocidade angular em função de
t2

   ' ' ω (t 2 ) − ω (t1 ) = ∫ α (t ) dt
2

t

t

1

' ' ˆ na direção fixa ( n ): ω (t2 ) − ω...
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