Fisica experimental

(Texto Compl. 8.3) REGRAS DE L’HOSPITAL 1

TEXTO COMPL. – REGRAS DE L’HOSPITAL
Nos tópicos 1 até 3 da aula 03 foram vistos limites de algumas funções que têm a forma indeterminada 0 0, este texto tem o objetivo aplicar a derivada no cálculo de limites que apresentam não só essa forma indeterminada como outros tipos de indeterminações, tais indeterminações serão definidas a seguir; os métodos que permitem remover as indeterminações são decorrentes dos resultados conhecidos como “as regras de L’Hospital (1)”. Vale lembrar que o x →c x →c

x →c

lim

f (x) g(x)

tem a forma indeterminada c+ ,
−∞

0 0

se

lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0, onde c pode ser substituído por c − ,

ou

+∞

(conforme foi visto nos tópicos 1 até 3 da aula 03), como nos exemplos:
3 lim x + 1 x → −1 x 4 − 1

e

lim sen x . x→0 x

A relação das formas indeterminadas é dada a seguir:
0, 0 ±∞ , ±∞
0. ( ±∞ ) ,
±∞ ∞,

00 ,

1±∞

e

( ±∞ )0 .

Por exemplo:
3 x tem a forma − ∞ , pois lim x = −∞ e lim  x2 + x2  = +∞;   2 +∞  x→−∞  x → −∞ x +x (b) lim x sen 1 tem a forma 0.( +∞ ), pois lim sen 1 = 0 e lim x = +∞; x x x →+∞ x →+∞ x→+∞   x = +∞ tem a forma +∞ − ∞, pois lim (c) lim  x − 2 1  + + x−2 x − 2 x − 4 x →2 x →2  1 = +∞; lim 2 x →2 + x − 4 (d) lim x sen x tem a forma 00 , pois lim x = 0 e lim sen x = 0;

(a) lim

x →−∞ 3

2

e

x →0 +

x →0 +

x →0 +

(e) lim

x →0

1 sen x (cos x)
1 x

tem a forma

1∞ , pois lim cos x = 0 e x→0 x→+∞

x →0

lim

1 = ∞; sen x

(f) lim x x→+∞ tem a forma

( +∞ )0 , pois

lim x = +∞ e

x →+∞

lim 1 = 0. x

O teorema seguinte será demonstrado no final deste tópico.

Teorema (Primeira Regra de L’Hospital) 1. Sejam f e g funções deriváveis num intervalo aberto I, exceto provavelmente num valor c em I. Suponha que g ' ( x ) ≠ 0 para
(1)

G. F. A. de L’Hospital (1661-1704), matemático francês.

2 (Aula 08) FUNÇÕES LOGARÍTMICAS E EXPONENCIAIS

todo x ≠ c em I,