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´ Manual de Algebra Linear
Curso: MEAer
1o Semestre 2012/2013 Prof. Paulo Pinto http://www.math.ist.utl.pt/∼ppinto/

Conte´ do u
1 Sistemas lineares e Matrizes 2 Determinantes 3 Espa¸os lineares c 4 Valores e vectores pr´prios de matrizes o 5 Transforma¸˜es lineares co 6 Produtos internos 7 T´picos adicionais e aplica¸˜es o co 8 Nota¸˜o usada ca ´ Indice alfab´tico e 1 6 9 16 17 21 26 30 311

Sistemas lineares e Matrizes
1. Uma matriz A = [aij ]m×n , do tipo m × n (m por n), ´ e n colunas:  a11 a12  a21 a22  A= . . .  . . . am1 am2 uma tabela de mn n´meros dispostos em m linhas e u  · · · a1n · · · a2n   . . .  ··· . ··· amn

O conjunto de todas as matrizes reais m × n designa-se por Mm×n (R); ou Mm×n (C), no caso dos complexos. Matriz diagonal ´ uma matrizquadrada (i.e. m = n) cujas entradas fora da diagonal principal s˜o todas e a nulas; as entradas a11 , a22 , ..., ann formam a diagonal principal de A. A matriz identidade I ´ a matriz e diagonal cuja diagonal principal ´ toda igual a 1. Matriz nula 0 do tipo m × n ´ a matriz com todas as e e entradas iguais a zero. A matriz quadrada A diz-se triangular superior se as entrada abaixo da diagonal principalde A forem todas nulas (i.e. aij = 0 se i > j). 2. Opera¸˜es alg´bricas co e • A entrada (i, j) da matriz soma A + B ´ dada por aij + bij sendo A = [aij ] e B = [bij ] matrizes do mesmo e tipo m × n. 1 4 −1 0 −3 2 1 1 1 Exemplo: + = . −3 2 6 4 −1 −5 1 1 1 • O produto de uma matriz A = [aij ] do tipo m × n por escalar α ´ a matriz αA = [αaij ]. e • O produto matricial A = [aij ] do tipo m × p comoutra matriz B = [bij ] do tipo p × n ´ a matriz e C = [cij ] do tipo m × n, designada por AB, cuja entrada (i, j) ´ dada por e
p

cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ... + aip bpj =
k=1

aik bkj . = 7 −19 2 4

1 2 1 3 5 3 = , 3 −7 2 0 −11 9 Assim, o produto de matrizes n˜o ´ comutativo! a e Exemplo: 1

1 3 2 0

1 2 3 −7

• A transposta da matriz A = [aij ] de tipo m × n ´ a matriz AT = [aji] de tipo n × m. e • tr(A) = a11 + .... + ann ´ o tra¸o da matriz A = [aij ] e c    1 −3 T 1 4 −1 2  e tr Exemplo: = 4 −3 2 6 −1 6 3. Sempre que as opera¸˜es sejam poss´ co ıveis temos: • (Comutatividade da soma) A + B = B + A. • (Associatividade da soma) A + (B + C) = (A + B) + C. • (Elemento neutro da soma) A + 0 = 0 + A = A, para toda a matriz A do tipo m × n. • (Sim´trico) Para cadamatriz A existe uma unica matriz B tal que A + B = 0. (B ´ −A). e ´ e • (Associatividade do produto por escalares) α (βA) = (αβ) A, com α, β escalares. • (Distributividade) (α + β) A = αA + βA. • (Distributividade) α (A + B) = αA + αB. • (Associatividade do produto de matrizes) A (BC) = (AB) C. • (Distributividade) A (B + C) = AB + AC • α (AB) = (αA) B = A (αB), AT
T

do tipo n × n.  1 −3 0 4 2 7 = −6. −1 6 −9

e (B + C) D = BD + CD.

• (Elemento neutro para a multiplica¸˜o matricial) AI = IA = A. ca = A, (A + B)T = AT + B T , (αA)T = αAT , (AB)T = B T AT . • tr(AB) = tr(BA), tr(AT )=tr(A) e tr(αA + B) = αtr(A) + tr(B). Em geral: AB = 0 n˜o implica que A = 0 ou B = 0. a Dada A matriz quadrada, define-se A2 = AA, A3 = A(AA), ..., Ak = AAk−1 (com k ∈ N). Sejam A, B, C matrizes: define-se asoma A + B + C := (A + B) + C, caso exista. Defines o ABC := A(BC), caso exista (e por recorrˆncia podemos definir A1 + ... + As e A1 ....As ). e 4. Uma matriz n × n diz-se invert´ ıvel se existe outra matriz B tal que AB = BA = I. Caso exista a matriz inversa de A ´ unica e designa-se por A−1 . e´ Teorema: Sendo A, B invert´ ıveis ent˜o AB, αA, AT s˜o invert´ a a ıveis, para qualquer escalar n˜onulo α e a (A−1 )−1 , (AB)−1 = B −1 A−1 , (αA)−1 = α−1 A−1 , (AT )−1 = (A−1 )T .

5. Opera¸˜es elementares numa matriz qualquer A: co • Li ↔ Lj , para representar que se efectuou a troca das linhas Li e Lj • αLi → Li , para representar que a linha Li foi multiplicada pelo escalar α = 0. • αLi + Lj → Lj , para representar que a nova linha Lj ´ obtida somando ` linha Lj a linha Li previamente e...
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