Faculdade

´ Manual de Algebra Linear
Curso: MEAer
1o Semestre 2012/2013 Prof. Paulo Pinto http://www.math.ist.utl.pt/∼ppinto/

Conte´ do u
1 Sistemas lineares e Matrizes 2 Determinantes 3 Espa¸os lineares c 4 Valores e vectores pr´prios de matrizes o 5 Transforma¸˜es lineares co 6 Produtos internos 7 T´picos adicionais e aplica¸˜es o co 8 Nota¸˜o usada ca ´ Indice alfab´tico e 1 6 9 16 17 21 26 30 31

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Sistemas lineares e Matrizes
1. Uma matriz A = [aij ]m×n , do tipo m × n (m por n), ´ e n colunas:  a11 a12  a21 a22  A= . . .  . . . am1 am2 uma tabela de mn n´meros dispostos em m linhas e u  · · · a1n · · · a2n   . . .  ··· . ··· amn

O conjunto de todas as matrizes reais m × n designa-se por Mm×n (R); ou Mm×n (C), no caso dos complexos. Matriz diagonal ´ uma matriz quadrada (i.e. m = n) cujas entradas fora da diagonal principal s˜o todas e a nulas; as entradas a11 , a22 , ..., ann formam a diagonal principal de A. A matriz identidade I ´ a matriz e diagonal cuja diagonal principal ´ toda igual a 1. Matriz nula 0 do tipo m × n ´ a matriz com todas as e e entradas iguais a zero. A matriz quadrada A diz-se triangular superior se as entrada abaixo da diagonal principal de A forem todas nulas (i.e. aij = 0 se i > j). 2. Opera¸˜es alg´bricas co e • A entrada (i, j) da matriz soma A + B ´ dada por aij + bij sendo A = [aij ] e B = [bij ] matrizes do mesmo e tipo m × n. 1 4 −1 0 −3 2 1 1 1 Exemplo: + = . −3 2 6 4 −1 −5 1 1 1 • O produto de uma matriz A = [aij ] do tipo m × n por escalar α ´ a matriz αA = [αaij ]. e • O produto matricial A = [aij ] do tipo m × p com outra matriz B = [bij ] do tipo p × n ´ a matriz e C = [cij ] do tipo m × n, designada por AB, cuja entrada (i, j) ´ dada por e p cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ... + aip bpj = k=1 aik bkj . = 7 −19 2 4

1 2 1 3 5 3 = , 3 −7 2 0 −11 9 Assim, o produto de matrizes n˜o ´ comutativo! a e Exemplo: 1

1 3 2 0

1 2 3 −7

• A transposta da matriz A = [aij ] de tipo m × n ´ a matriz AT = [aji