Exercicios de integral de linha

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Instituto Superior T´cnico e Departamento de Matem´tica a ´ Sec¸˜o de Algebra e An´lise ca a

Exerc´ ıcios Resolvidos Integral de Linha de um Campo Vectorial

Exerc´ ıcio 1 Considere o campo vectorial F (x, y, z) = Calcule o integral de linha
C



(x2

2x 2y , 2 , z2 . 2 )2 −y (x − y 2 )2

F onde C ´ a curva descrita pelo caminho e g(t) = (et , sen t, t) , 0≤t≤ π . 2

Resolu¸˜o: Odom´ ca ınio do campo F ´ o conjunto e R3 \ {(x, y, z) ∈ R3 : x = y} ∪ {(x, y, z) ∈ R3 : x = −y} que ´ a uni˜o de 4 conjuntos em estrela, limitados pelos planos x = y e x = −y, tal como se e a mostra na Figura 1, em que n˜o se apresenta a dependˆncia em z. a e Sendo et > | sen t| , t > 0, ent˜o a curva C est´ contida no conjunto em estrela a a S = {(x, y, z) ∈ R3 : x > |y|}.
y x=y PSfragreplacements x x = −y

Figura 1: Esbo¸o do dom´ c ınio do campo F Sendo F um campo fechado, j´ que a
∂ ∂y ∂ ∂z ∂ ∂z 2x − (x2 −y2 )2 2x − (x2 −y2 )2 2y (x2 −y 2 )2

= − (x28xy2 )3 −y = = 0 0

= = =

∂ ∂x

2y (x2 −y 2 )2 ∂ ∂x ∂ ∂y

z2 z2 ,

e sendo S um conjunto em estrela, concluimos que F ´ um campo gradiante em S. e Portanto, pelo Teorema Fundamental do C´lculo, temos a π F = V (g( )) − V(g(0)), 2 C em que V designa um potencial escalar para F em S. 1

Para determinar um potencial V (x, y, z) deveremos resolver a equa¸ao c˜  ∂V 2x  ∂x = − (x2 −y2 )2    2y ∂V = (x2 −y2 )2  ∂y    ∂V = z 2. ∂z Da primeira equa¸ao obtemos, c˜ V (x, y, z) = Da segunda, 1 + k1 (y, z). x2 − y 2

V = F, ou seja,

∂k1 (y, z) = 0 ⇔ k1 (y, z) = k2 (z). ∂y z3 + k3 . 3

Finalmente, daterceira equa¸ao obtemos c˜ k2 (z) = z 2 ⇔ k2 (z) = Portanto o potencial tem a forma V (x, y, z) = onde k3 ´ uma constante. e Ent˜o, a F
C

z3 1 + + k3 x2 − y 2 3

π = V (g( )) − V (g(0)) 2 π π 2 , 0, ) − V (1, 0, 0) = V (e 2 π3 = e−π + −1 24

Exerc´ ıcio 2 Considere o campo definido em R2 \ {(0, 0)} por F (x, y) = x y ,− 2 x2 + 4y 2 x + 4y 2 .

Calcule o integral de linha de F ao longo dacircunferˆncia de raio 1 centrada na origem e pere corrida no sentido directo. Resolu¸˜o: Se tentarmos calcular o integral de linha pela defini¸ao verificaremos imediatamente ca c˜ que n˜o ´ uma tarefa f´cil. Como alternativa podemos utilizar o Teorema de Green. a e a Note-se que o campo F ´ fechado. De facto, temos e ∂ ∂y y 2 + 4y 2 x = ∂ x2 − 4y 2 = 2 + 4y 2 )2 (x ∂x − x2 x + 4y 2 .

Consideremos umaregi˜o S, limitada pela circunferˆncia C, de raio 1, centrada na origem e a e percorrida no sentido directo e por outra linha L regular, fechada e percorrida no sentido directo, tal como se ilustra na Figura 2. 2

Sendo F um campo fechado, aplicando o Teorema de Green a regi˜o S, obtemos ` a 0=
S

(

∂F2 ∂F1 − )dxdy = ∂x ∂y

L

F−

F,
C

ou seja, F =
C L

F.

Portanto, emvez de calcular o integral de F em C podemos calcular o integral de F em L. Assim, deveremos escolher L de tal forma que o c´lculo do integral L F seja simples. a
y PSfrag replacements L C 2 1 4

x

Figura 2: Esbo¸o da regi˜o S limitada por C e por L c a A express˜o do campo sugere que consideremos curvas onde x2 + 4y 2 seja constante, isto ´, a e elipses. Consideremos, por exemplo, o caminhoh(t) = (4 cos t, 2 sen t), 0 ≤ t ≤ 2π

que descreve a elipse x2 + 4y 2 = 16, uma vez no sentido directo, tal como se mostra na Figura 2. Portanto, o integral de linha de F ao longo de L ser´ dado por a


F.dh =
L 0

2 sen t 4 cos t ,− 16 16



.(−4 sen t, 2 cos t)dt =
0

1 − dt = −π. 2

Exerc´ ıcio 3 Considere o campo vectorial f : R3 → R3 definido por f (x, y, z) = (yzexyz ,xzexyz , xyexyz ). a) Sabendo que f define uma for¸a conservativa, encontre um potencial φ para f. c b) Calcule o trabalho de f ao longo da espiral descrita pelo caminho g(t) = (5 cos t , 5 sen t, t2 ) , t ∈ 0, π . 4

Resolu¸˜o: ca a) O potencial φ satisfaz a condi¸ao c˜ φ = f, ou seja, verifica as equa¸oes c˜

∂φ ∂φ ∂φ = yzexyz , = xzexyz , = xyexyz . ∂x ∂y ∂z

3

Integrando a primeira...
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