modelando um furacão

MODELANDO FURACÕES

PARANAGUÁ
2014
Respostas
Exercício 1
a)
O indica o vetor de posição, o por inspeção, de modo que o campo de velocidades é tangente ao círculo. O relacionamento indica que é sistema, de modo que o fluxo de sentido anti-horário.

Se C for uma curva simples fechada lisa por partes orientada no sentido anti-horário, de modo que a solução (a) C não envolva a origem e a solução (b) C envolva a origem.
Solução (a)

De modo que

Se x e y não forem ambas nulas. Assim, se C não envolve a origem, temos:

Na região simplesmente conexa envolvida por C e, portanto, a integral é nula pelo Teorema de Green.
Solução (b)
Ao contrário de situação na parte (a), não podemos aplicar o Teorema de Green diretamente porque as funções f(x,y) e g(x,y) são descontínuas na origem. Não temos uma curva específica C que possamos parametrizar para calcular a integral. Será substituído C por uma curva específica que produza o mesmo valor para a integral e, então, usar esta curva para o cálculo. Para tal curva, vamos aplicar o Teorema de Green para regiões multiplamente conexas a uma região que não contenha a origem. Com essa finalidade, construímos um círculo com orientação no sentido horário, centrado na origem e com raio suficientemente pequeno para que fique dentro da região envolvida por C. Isso cria uma região multiplamente conexa R, cujas de fronteira têm as orientações requeridas pela fórmula e de modo que no interior de R as funções f(x,y) e g(x,y) que satisfazem as hipóteses do teorema de Green (a origem está fora de R). Assim:

Desta equação, obtemos

Que pode ser reescrita como

Mas tem orientação no sentido horário, portanto tem orientação no sentido anti-horário. Mostramos, assim, que a integral original pode ser calculada integrando no sentido anti-horário em torno de um círculo de raio , centrado na origem e que fica no interior da região envolvida por C. Tal círculo