Exatas

Exponencial.

Além disso, se u for uma função diferenciável de x, então tem-se a partir d (a x ) d (e x ) de = a x ln a e = e x que dx dx d (a u ) du = a u . ln a. dx dx d (e u ) = e u .u ' dx

ou

y ' = a . ln a.u ' u e

ou

y ' = e u .u '

Exemplo:

Resolução: a) f(x) = 2x+1 y = 2u u=x+1 y ' = a u . ln a.u ' y ' = 2 x + 1. ln 2.1 y ' = 2 x + 1. ln 2

b) f(x) = e2x y = eu y ' = e u .u ' 1. 1 log a e x y ' = e 2 x .2 y ' = 2e 2 x

Derivada da função logarítmica Se y = logax (a>0, e a ≠ 1), então: y' = (a>0, a ≠ 1).

Tabela das derivadas

Exemplos: 1. Determinar a derivada das funções: 2 x2 + 3x− 1 a) y = 3 Fazendo u = 2x2 + 3x – 1, temos y = 3u y ' = a u . ln a.u ' y ' = 3u . ln 3.u ' y' = 32 x
2

+ 3x− 1

. ln 3.(4 x + 3)

b)

 1 y=    2

x

 1 Temos y =    2 y ' = a u . ln a.u '  1  1 y ' =   . ln  .u '  2  2  1 y' =    2
c)
x u

u

, onde

u=

x . Assim,

 1 1 . ln  .  2 2 x

y = e x− 1

x+ 1

Fazendo y = eu com u = y ' = e u .u ' y' = e x+ 1 x− 1

x+ 1 , temos: x− 1

.

( x − 1).1 − ( x + 1).1 ( x − 1) 2

y' = e

x+ 1 x− 1

.

− 2 ( x − 1) 2

d) y = e x. ln x Neste caso fazemos y = eu, onde u = x.lnx. Então, y ' = e u .u '  1  y ' = e x. ln x . x. + ln x.1  x  y ' = e x. ln x (1 + ln x)
e)

y = log 2 (3x 2 + 7 x − 1)

Temos y = log2u, onde u = 3x2 + 7x – 1 . Portanto, u' y ' = log 2 e u y' = 6x + 7 log 2 e 3x + 7 x − 1
2

 ex  f) y = ln  x + 1    Temos y = lnu, onde u = u' u ex . Logo, x+ 1

y' =

( x + 1)e x − e x .1 ( x + 1) 2 y' = ex x+ 1 Exercícios: 1. Calcule a derivada: a) f(x) = 2e 3 x
2

y' =

x x+ 1

+ 6 x+ 7

b) f ( x) =

1 3− x e 3
2

1 − ln 2 x c) f ( x) = ( ) 2 f) f ( x ) = log 2 (2 x + 4)

d) f ( x) = e x

e− t + 1 e) f (t ) = t

g) f ( x) =

1 (bx 2 + c) − ln x a a 3x b 3x
2

h) f ( s ) = log 3 s + 1

i) f ( x) =

1 ln(7 x 2 − 4) 2

j) f ( x) =

− 6x

Derivadas das Funções